【LG5171】Earthquake

【LG5171Earthquake】

题面

洛谷

题解

本题需要用到类欧几里得算法。

前置知识：类欧几里得

就是求函数$$varphi (a,b,c,n)=sum_{i=0}^n leftlfloorfrac {ai+b}c ight floor$$
的值(其实还有两种形式，但是我还不会这里不做介绍)。

它的几何意义是直线(y=frac {ax+b}c)在([0,n])下方或过直线的第一象限内的整点数

令(xi(i)=lfloorfrac {ai+b}c floor)，

由结论(lfloorfrac{Ax}y floor = lfloorfrac{A(x;mod;y)}y floor + Alfloorfrac xy floor)，

可以得到

[egin{aligned} xi(i)&=leftlfloorfrac{ai}c+frac bc ight floor \&=leftlfloorfrac{(amod c)i+(bmod c)} c ight floor+iBiglfloorfrac acBig floor+Biglfloorfrac bcBig floor end{aligned} ]

然后可以得到(varphi(a,b,c,n)=varphi(amod c,bmod c, c, n)+frac {n(n+1)}2lfloorfrac ac floor+(n+1)lfloorfrac bc floor)。

现在我们将(xi(i))的值限制在了([0,n])之内，考虑将(varphi)用新的式子表示出来：

[egin{aligned} varphi(a,b,c,n)&=sum_{i=0}^nsum_{d=1}^{lfloorfrac {an+b}c floor}left[lfloorfrac {ai+b}c floorgeq d ight]\&=sum_{i=0}^nsum_{d=0}^{lfloorfrac {an+b}c floor-1}left[a^{-1}clfloorfrac {ai+b}c floorgeq a^{-1}c(d+1)>a^{-1}(cd+c-1) ight]\&=sum_{i=0}^nsum_{d=0}^{lfloorfrac {an+b}c floor-1}left[i>frac {cd+c-b-1}{a} ight] end{aligned} ]

而右边艾弗森括号里的相当于统计有多少个数大于(frac {cd+c-b-1}{a})，就相当于(n-lfloorfrac {cd+c-b-1}{a} floor)，那么

[egin{aligned} varphi(a,b,c,n)&=sum_{d=0}^{lfloorfrac {an+b}c floor-1}(n-leftlfloorfrac {cd+c-b-1}{a} ight floor)\ &=nleftlfloorfrac {an+b}c ight floor-sum_{d=0}^{lfloorfrac {an+b}c floor-1}leftlfloorfrac {cd+c-b-1}{a} ight floor\ &=nleftlfloorfrac {an+b}c ight floor-varphi(c,c-b-1,a,leftlfloorfrac {an+b}c ight floor-1)\ &=nleftlfloorfrac {an+b}c ight floor-varphi(c,c-b-1,a,xi(n)-1) end{aligned} ]

现在就可以递归处理了，至于复杂度，仔细思考一下发现和(gcd)复杂度一样，为(O(log n))。

代码实现：

long long f(long long a, long long b, long long c, long long n) { 
	if (!a) return b / c * (n + 1); 
	else if (a >= c || b >= c) return f(a % c, b % c, c, n) + n * (n + 1) / 2 * (a / c) + (n + 1) * (b / c); 
	else {
		long long m = (a * n + b) / c; 
		return n * m - f(c, c - b - 1, a, m - 1); 
	} 
} 

关于此题

[ax+by-cleq 0 ]

就是求(y=frac {c-ax}{b})下方或过直线在第一象限及正半轴上的整点数。

令(n=lfloorfrac ca floor)，那么两端的点就为((0,frac cb),(n,frac {c-an}b))。

显然可以把两端的(y)值调换一下，那么两点变为((0,frac {c-an}b),(n,frac cb))，

此时这条直线变为(y=frac ab x+frac {c-an}{b}=frac {ax+(c;mod;a)}b)，然后套到类欧的模板里再加上坐标轴上的贡献即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
using namespace std; 
long long a, b, c; 
long long f(long long a, long long b, long long c, long long n) { 
	if (!a) return b / c * (n + 1); 
	else if (a >= c || b >= c) return f(a % c, b % c, c, n) + n * (n + 1) / 2 * (a / c) + (n + 1) * (b / c); 
	else {
		long long m = (a * n + b) / c; 
		return n * m - f(c, c - b - 1, a, m - 1); 
	} 
} 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif 
	cin >> a >> b >> c; 
	printf("%lld
", f(a, c % a, b, c / a) + c / a + 1); 
    return 0; 
}