python 回溯法 子集树模板 系列 —— 3、0-1背包问题

问题

给定N个物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得放入背包的物品的总价值为最大？

分析

显然，放入背包的物品，是N个物品的所有子集的其中之一。N个物品中每一个物品，都有选择、不选择两种状态。因此，只需要对每一个物品的这两种状态进行遍历。

解是一个长度固定的N元0,1数组。

套用回溯法子集树模板，做起来不要太爽！！！

代码

'''0-1背包问题'''

n = 3            # 物品数量
c = 30           # 包的载重量
w = [20, 15, 15] # 物品重量
v = [45, 25, 25] # 物品价值

maxw = 0  # 合条件的能装载的最大重量
maxv = 0  # 合条件的能装载的最大价值
bag = [0,0,0] # 一个解（n元0-1数组）长度固定为n
bags = []     # 一组解
bestbag = None # 最佳解


# 冲突检测
def conflict(k):
    global bag, w, c
    
    # bag内的前k个物品已超重，则冲突
    if sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w[:k+1], bag[:k+1]))]) > c:
        return True
    
    return False


# 套用子集树模板
def backpack(k): # 到达第k个物品
    global bag, maxv, maxw, bestbag
    
    if k==n: # 超出最后一个物品，判断结果是否最优
        cv = get_a_pack_value(bag)
        cw = get_a_pack_weight(bag)
        
        if cv > maxv : # 价值大的优先
            maxv = cv
            bestbag = bag[:]
            
        if cv == maxv and cw < maxw: # 价值相同，重量轻的优先
            maxw = cw
            bestbag = bag[:]
    else:
        for i in [1,0]: # 遍历两种状态 [选取1, 不选取0] 
            bag[k] = i  # 因为解的长度是固定的
            if not conflict(k): # 剪枝
                backpack(k+1)


# 根据一个解bag，计算重量
def get_a_pack_weight(bag):
    global w
    
    return sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w, bag))])
    
    
# 根据一个解bag，计算价值
def get_a_pack_value(bag):
    global v
    
    return sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(v, bag))])
    
    
# 测试
backpack(0)
print(bestbag, get_a_pack_value(bestbag))

效果图