[NOI2017]游戏「2-SAT」
题目描述
小 L 计划进行 (n) 场游戏，每场游戏使用一张地图，小 L 会选择一辆车在该地图上完成游戏。
小 L 的赛车有三辆，分别用大写字母 (A)、(B)、(C) 表示。地图一共有四种，分别用小写字母 (x)、(a)、(b)、(c) 表示。
其中，赛车 (A) 不适合在地图 (a) 上使用，赛车 (B) 不适合在地图 (b) 上使用，赛车 (C) 不适合在地图 (c) 上使用，而地图 (x) 则适合所有赛车参加。
适合所有赛车参加的地图并不多见，最多只会有 (d) 张。
(n) 场游戏的地图可以用一个小写字母组成的字符串描述。例如：(S= exttt{xaabxcbc}) 表示小L计划进行 (8) 场游戏，其中第 (1) 场和第 (5) 场的地图类型是 (x)，适合所有赛车，第 (2) 场和第 (3) 场的地图是 (a)，不适合赛车 (A)，第 (4) 场和第 (7) 场的地图是 (b)，不适合赛车 (B)，第 (6) 场和第 (8) 场的地图是 (c)，不适合赛车 (C)。
小 L 对游戏有一些特殊的要求，这些要求可以用四元组 ((i, h_i, j, h_j)) 来描述，表示若在第 $i4 场使用型号为 (h_i) 的车子，则第 (j) 场游戏要使用型号为 (h_j) 的车子。
你能帮小 L 选择每场游戏使用的赛车吗？如果有多种方案，输出任意一种方案。
如果无解，输出 -1。
输入格式
输入第一行包含两个非负整数 (n), (d)。
输入第二行为一个字符串 (S)。
(n), (d), (S) 的含义见题目描述，其中 (S) 包含 (n) 个字符，且其中恰好 (d) 个为小写字母 (x)。
输入第三行为一个正整数 (m) ，表示有 (m) 条用车规则。
接下来 (m) 行，每行包含一个四元组 (i,h_i,j,h_j) ，其中 (i,j) 为整数，(h_i,h_j) 为字符 (A) 、(B) 或 (C)，含义见题目描述。
输出格式
输出一行。
若无解输出 -1。
若有解，则包含一个长度为 (n) 的仅包含大写字母 (A)、(B)、(C) 的字符串，表示小 L 在这 (n) 场游戏中如何安排赛车的使用。如果存在多组解，输出其中任意一组即可。
输入输出样例
输入 #1
3 1
xcc
1
1 A 2 B
输出 #1
ABA
思路分析
来，今天我们学习(2-SAT),首先从这个黑题入手
- 每个地图都有两个或三个状态可选，另加了一些限制，显然是一道 (2—SAT) 的题
- 关键在于对于 (x) 地图，有三种状态，难不成弄个 (3—SAT) ？然而这个做法已被证明是 (NPC)
- 为了变成 (2-SAT) 问题，我们将 $x $地图分类讨论，第一种是不能选 (A) ，第二种不能选 (B)，这时候选 (A)、(B)、(C) 的情况就都已经囊括了，不须再进一步枚举
- 接下来是连边，对于每个四元组 (i,h_i,j,h_j)：
- (h_i) 是不可选的，不需连边，跳过即可
- (h_j) 是不可选的，则需要建边强制i不能选 (h_i)
- 都可选，直接连边，表示同时选，另外再根据逆否命题建一个反向边，即同时不选
- 对于方案输出，输出拓扑序大的，即缩点编号小的即可
细节真的超多
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 500100
using namespace std;
inline int read(){
int x = 0,f = 1;
char ch = getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,d,m,dfs_clock,scc_cnt,dfn[N],low[N],head[N],sta[N],top,belong[N],in[N],a[N],b[N],gn[N];
char s[N],h1[N],h2[N],ans[N];
struct edge{
int to,next;
}e[N<<2];
int len;
void addedge(int u,int v){
e[++len].to = v;
e[len].next = head[u];
head[u] = len;
}
void Init(){ //每次改变x图的状态都要重新建图
memset(head,0,sizeof(head));
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(low,0,sizeof(low));
memset(belong,0,sizeof(belong));
memset(in,0,sizeof(in));
memset(sta,0,sizeof(sta));
dfs_clock = scc_cnt = top = len = 0;
}
void Tarjan(int u){ //Tarjan缩点
dfn[u] = low[u] = ++dfs_clock;
sta[++top] = u;
in[u] = 1;
for(int i = head[u];i;i=e[i].next){
int v = e[i].to;
if(!dfn[v]){
Tarjan(v);
low[u] = min(low[u],low[v]);
}
else if(!belong[v])low[u] = min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u]){
scc_cnt++;
while(1){
int x = sta[top--];
belong[x] = scc_cnt;
in[x] = 0;
if(u==x)break;
}
}
}
bool check(){//寻找可行方案
for(int i = 1;i <= (n<<1);i++)if(!dfn[i])Tarjan(i);
for(int i = 1;i <= n;i++){
if(belong[i]==belong[i+n])return false; //两个状态出现在了一个scc里，就没有合理方案
if(belong[i]<belong[i+n])ans[i] = (s[i]=='A') ? 'B' : 'A'; //根据字典序优先，第一个状态只能是A或C
else ans[i] = (s[i]=='C') ? 'B' : 'C'; //同理
}
for(int i = 1;i <= n;i++)putchar(ans[i]); //找到一种方案输出就行了
return true;
}
int main(){
n = read(),d = read();
d = 0;
scanf("%s",s+1);
m = read();
for(int i = 1;i <= n;i++)if((s[i]-=32)&&s[i]=='X')gn[++d] = i; //x图存储起来
for(int i = 1;i <= m;i++){
a[i] = read();scanf(" %c",&h1[i]);
b[i] = read();scanf(" %c",&h2[i]);
}
bool flag = 0;
for(int i = 0;i <= (1<<d)-1;i++){ //枚举2^d个状态，这里用了2进制位，每个x图相应的2进制位为1就不能A，否则不能选B
Init();
for(int j = 1;j <= d;j++)s[gn[j]] = (i&(1<<(j-1))) ? 'A' : 'B';
for(int j = 1;j <= m;j++){
if(h1[j] == s[a[j]])continue;
if(h2[j] == s[b[j]]){
if(h1[j]=='C' || (h1[j] =='B'&&s[a[j]]=='C'))addedge(a[j]+n,a[j]); //这里的if是根据字典序大小而进行连边操作
else addedge(a[j],a[j]+n);
continue;
}
int add1,add2;
if(h1[j] == 'C' || (h1[j] == 'B' && s[a[j]] == 'C')) add1 = n;
else add1 = 0;
if(h2[j] == 'C' || (h2[j] == 'B' && s[b[j]] == 'C')) add2 = n;
else add2 = 0;
addedge(a[j] + add1, b[j] + add2);
addedge(b[j] - add2 + n, a[j] - add1 + n); //反向边，巧妙处理
}
if(check()){flag = 1;break;}
}
if(!flag)printf("-1");
return 0;
}