开关问题(异或线性方程组

开关问题

# 题意

$n$个相同的开关，每个开关都与某些开关有联系，每次操作某个开关，与操作开关相关的开关也会发生变化，即这些相联系的开关状态原来是开就为关，关变开，经过若干次开关操作后使得最后$n$个开关达到一个特定的状态，对于任意一个开关，最多只能拿进行一次开关操作，计算可能达到指定状态的方法，

# 题解

开关只有开和关两个状态，用$0$和$1$来表示，其中$1$表示开，$0$表示关，如果某个开关操作x_i = 1，不操作x_i = 1

如果两个开关i，j相连那么a[i][j] = 1,否则为0，其中xi为未知数，如果$i$和$j$相关那么x_j为真的话显然x_i的状态会不变化

而如果开关原来是关即0，操作开关即1，变成1，原来是0，操作，变为1 ，反之亦然，即异或操作

可以得到方程组

a₁₁&x₁ ^ a₁₂ & x₂ ^ ...... a_1n & x_n ^ ori ₁ = end₁   
a₂₁&x₁ ^ a₂₂ & x₂ ^ ...... a_2n & x_n ^ ori ₂ = end₂   

......

a_n1&x₁ ^ a_n2 & x₂ ^ ...... a_nn & x_n ^ ori _n = end_n

根据异或的性质可以将每个ori 移到方程的右边

高斯消元求异或方程组即可

最后因为x的取值稚嫩那个是0或1，最后方案数就是自由元个数k，2^k   

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 1, r = 1; c <= n; c ++ ){
        int t = r;
        if(a[r][c] != 1)
            for (int i = r + 1; i <= n; i ++ )
                if (a[i][c])
                    t = i;
        if (!a[t][c]) continue;
        for (int i = c; i <= n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);

        for (int i = r + 1; i <= n; i ++ )
            if(a[i][c])
                for (int j = n+1; j >= c; j -- )
                    a[i][j] ^=  a[r][j];
        r ++ ;
    }
    int res=1;
    if (r < n+1){
        for (int i = r; i <= n; i ++ )
        {
            if (a[i][n+1]) return -1;
            res*=2;
        }
    }
    return res;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        memset(a,0,sizeof a);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i][n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int tmp;
            cin>>tmp;
            a[i][n+1] ^= tmp;
            a[i][i]=1;
        }
        int x,y;
        while(scanf("%d%d",&y,&x),x||y)
            a[x][y]=1;
        int ans=gauss();
        if(ans==-1)  puts("Oh,it's impossible~!!");
        else printf("%d
",ans);
    }
}