深度优先搜索 DFS（Depath First Search, DFS）

深度优先搜索是一种枚举所有完整路径以遍历所有情况的搜索方法。（不撞南墙不回头）

DFS一般用递归来实现，其伪代码思路过程一般如下：

void DFS(必要的参数）{
    if (符和遍历到一条完整路径的尾部){
        更新某个全局变量的值
    }
    if (跳出循环的临界条件){
        return;
    }
    对所有可能出现的情况进行递归
}

常见题型1：

 代码实现：

#include <stdio.h>
const int maxn = 30;
int n, V, maxVal = 0;        // 物品减数， 背包容量，最大价值maxValue
int w[30];
int c[30];
int ans = 0;        // 最大价值

// dfs, index是物品编号，nowW是当前所收纳的物品容量，nowC是当前所收纳的物品的总价值
void dfs(int index, int nowW, int nowC){
    if (index == n){
        return;
    }
    dfs(index + 1, nowW, nowC);        // 不选第index件商品
    if (nowW + w[index] <= V){        // 选第index件商品，但是先判断容量是否超限
        if (nowC + c[index] > ans){
            ans = nowC + c[index];        // 更新最大价值
        }
        dfs(index + 1, nowW + w[index], nowC + c[index]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &V);
    for (int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d", &w[i]);            // 每件物品的重量
    }
    for (int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d", &c[i]);            // 每件物品的价值
    }

    dfs(0, 0, 0);
    printf("%d
", ans);

    return 0;
}

常见题型二：

枚举从N 个整数找那个选择K个数（有时这个数可能可以重复）的所有方案（有时要打印这个方案的序列）

 代码实现：

#include <stdio.h>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 30;
// 从包含n个数的序列A中选k个数使得和为x, 最大平方和为maxSumSqu;
int n, k, sum, maxSumSqu = -1, A[maxn];
vector<int> temp, ans;        // temp存放临时方案，ans存放平方和最大的方案

void DFS(int index, int nowK, int nowSum, int nowSumSqu){
    if (nowK == k && nowSum == sum){
        if (nowSumSqu > maxSumSqu){
            maxSumSqu = nowSumSqu;
            ans = temp;
        }
        return;
    }
    // 如果已经处理完n个数，或者选择了超过k个数，或者和超过x
    if (index == n && nowK > k && nowSum > sum){
        return;
    }

    // 选这个数
    temp.push_back(A[index]);
    DFS(index + 1, nowK + 1, nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);
    
    // 不选这个数
    // 先把刚加到temp中的数据去掉
    temp.pop_back();
    DFS(index + 1, nowK, nowSum, nowSumSqu);
}

如果选出的k个数可以重复，那么只需将上面“选这个数的 index + 1 改成 index 即可”

将

DFS(index + 1, nowK + 1, nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);

改成

DFS(index, nowK + 1, nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);

DFS题型实战：

　　　　　　　　　　1103 Integer Factorization (30分)

The K−P factorization of a positive integer N is to write N as the sum of the P-th power of K positive integers. You are supposed to write a program to find the K−P factorization of N for any positive integers N, K and P.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives in a line the three positive integers N (≤400), K (≤N) and P (1<P≤7). The numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:

For each case, if the solution exists, output in the format:

N = n[1]^P + ... n[K]^P

where n[i] (i = 1, ..., K) is the i-th factor. All the factors must be printed in non-increasing order.

Note: the solution may not be unique. For example, the 5-2 factorization of 169 has 9 solutions, such as 12​2​​+4​2​​+2​2​​+2​2​​+1​2​​, or 11​2​​+6​2​​+2​2​​+2​2​​+2​2​​, or more. You must output the one with the maximum sum of the factors. If there is a tie, the largest factor sequence must be chosen -- sequence { a​1​​,a​2​​,⋯,a​K​​ } is said to be larger than { b​1​​,b​2​​,⋯,b​K​​ } if there exists 1≤L≤K such that a​i​​=b​i​​ for i<L and a​L​​>b​L​​.

If there is no solution, simple output Impossible.

Sample Input 1:

169 5 2

Sample Output 1:

169 = 6^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2 + 5^2

Sample Input 2:

169 167 3

Sample Output 2:

Impossible

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

// 从1 - 20中选出k个数，数可重复，使得这些数的p次方的和刚好等于n, 求这些序列中和最大的那个序列

int A[21];
int flag = 1;
int n, k, p, maxSum = -1;
vector<int> ans, temp, fac;        // ans 存放最终序列, temp存放临时序列

// 快速幂
int power(int i){
    /*if (p == 1 )
        return i;
    if ((p & 1) != 0)
        return i * power(i, p - 1);
    else
    {
        int temp = power(i, p / 2);
        return temp * temp;
    }*/

    int ans = 1;
    for (int j = 0; j < p; j++){
        ans *= i;
    }
    return ans;
}

// 求出所有不大于n的p次幂
void init(){
    int i = 0, temp = 0;
    while (temp <= n){
        fac.push_back(temp);
        temp = power(++i);
    }
}

// DFS
void DFS(int index, int nowK, int sum, int squSum){
    // 临界条件
    if (squSum == n && nowK == k){
        if (sum > maxSum){
            maxSum = sum;
            ans = temp;
        }
        
        return;
    }

    if (sum > n || nowK > k){
        return;
    }

    if (index >= 1){
        // 遍历所有可能的情况
        // 选当前数
        temp.push_back(index);
        DFS(index, nowK + 1, sum + index, squSum + fac[index]);

        // 不选当前数
        temp.pop_back();
        DFS(index - 1, nowK, sum, squSum);

        
    }
}

int main()
{
    // 读取输入
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d %d %d", &n, &k, &p);

    // 初始化fac数组
    init();

    // DFS寻找最合适的序列
    DFS(fac.size() - 1, 0, 0, 0);
    
    // 输出
    // 如果ans的size大于1则说明有结果
    if (maxSum != -1){
        // 排序
        printf("%d = %d^%d", n, ans[0], p);
        for (int i = 1; i < ans.size(); i++){
            printf(" + %d^%d", ans[i], p);
        }
    }else
        printf("Impossible");

    // fclose(stdin);
    return 0;
}

这个实战题主要就是要先把 所有不超过 N 的 i ^p都算出来，要不然会超时