12. 数值的整数次方
题目描述
实现函数double Power(double base, int exponent)，求base的exponent次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
示例 1:
输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000
示例 2:
输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100
示例 3:
输入: 2.00000, -2 输出: 0.25000 解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:
-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2
31
, 231
− 1] 。
分析：
0的任何次幂都是0， 非零整数的 0 次幂都是1， 整数的 负数次幂等于 整数的倒数的正数次幂，最后折半递归，判断指数的 奇 偶，如果是奇数还要多乘一个x
1 class Solution { 2 public double myPow(double x, int n) { 3 if(x == 0){ 4 return 0; 5 } 6 // 递归 7 // 递归边界是0 8 //long power = n; 9 if(n == 0){ 10 return 1; 11 } 12 if(n < 0){ 13 return myPow(1/x, -n); // 如果幂指数为负，底数取倒数，幂指数取反 14 } 15 16 // 折半递归 17 double temp = myPow(x, n/2); 18 temp *= temp; 19 if((n % 2) == 1){ // 奇数, 如果是奇数还要多乘一个x, 20 temp *= x; 21 } 22 return temp; 23 } 24 }
上面的程序其实是有问题的，因为n是int类型的，范围是[-231, 231-1], 如果 n = -231, 那取反后就越界了，所以有两种解决办法，
① 一种是把 n 用一个long变量存下来，这样取反后就不会越界了， 只适用于非递归方式
② 另一种是在把n取反的时候1/x提取出来一个， 这样就不会越界了，
分别的代码如下
思路参考：
① 一种是把 n 用一个long变量存下来
n = b0*20 + b1*21 + b2*22 + ... + bi*2i (bi=0/1), 只有bi等于1才对n的值有作用
，只有bi等于1才对 xn 有作用，因为x0 = 1, 所以我们应该让n不断右移一位，等n的二进制最后一位是1的时候，让 res 乘上当前基数即可，如果n的二进制位的最后一位是0，继续计算当前位的基数，为后续做铺垫。
1 class Solution { 2 public double myPow(double x, int n) { 3 // 非递归方式 4 if(x == 0){ 5 return 0; 6 } 7 long power = n; 8 if(n < 0){ 9 power = -power; 10 x = 1/x; 11 } 12 double res = 1.0, temp = x; 13 while(power != 0){ 14 15 if((power & 1) == 1){ 16 res *= x; 17 } 18 19 x = x * x; 20 power >>= 1; 21 } 22 return res; 23 } 24 }
② 另一种是在把n取反的时候1/x提取出来一个
1 class Solution { 2 public double myPow(double x, int n) { 3 if(x == 0){ 4 return 0; 5 } 6 // 递归，递归边界是0 7 //long power = n; 8 if(n == 0){ 9 return 1; 10 } 11 if(n < 0){ 12 return 1/x * myPow(1/x, -n-1); // 如果幂指数为负，底数取倒数，幂指数取反 13 } 14 15 // 折半递归 16 double temp = myPow(x, n/2); 17 temp *= temp; 18 if((n % 2) == 1){ // 奇数, 如果是奇数还要多乘一个x, 19 temp *= x; 20 } 21 return temp; 22 } 23 }
复杂度分析：
时间复杂度：折半求幂，所以时间复杂度为O(logn)
空间复杂度：递归方式下有个栈的空间复杂度，为O(logn), 非递归方式下空间复杂度为O(1)