leetcode hot 100

287. 寻找重复数

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:

输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

示例 2:

输入: [3,1,3,4,2]
输出: 3

说明：

不能更改原数组（假设数组是只读的）。
只能使用额外的 O(1) 的空间。
时间复杂度小于 O(n2) 。
数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

思路一：二分法：

参考：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number/solution/er-fen-fa-si-lu-ji-dai-ma-python-by-liweiwei1419/

因为题目有几个要求，不能修改原数组，所以不能使用排序，然后统计相邻的元素是否相同；空间复杂度只能为O(1), 所以不能借助计数排序或者 HashMap统计元素个数。所以使用二分法来解决这个问题。

让左右指针分别等于可能的最大值和可能的最小值，注意这个左右指针存储的不是下标，而是元素值；随后取左右元素的一半，遍历nums 数组，统计小于等于该中值的元素个数，如果元素个数大于mid, 说明前半段元素存在重复，说明[left, mid] 中存在重复，因为如果不存在重复的话，[left, mid]中元素最多为 (mid - left + 1), 肯定小于等于mid, 应该让rihgt = mid; 否则说明重复的元素在右半段，即重复元素存在于 [mid+1, right], 所以应该让left = mid + 1

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
    
        // 二分查找小于等于中值的元素个数

        int left = 1, right = nums.length -1;
        while(left < right){
            int mid = (left + right) >>> 1; // 取左右的中值
            int cnt = 0;
            // 遍历数组，求出小于等于mid的元素的个数
            for(int num : nums){
                if(num <= mid){
                    cnt++;
                }
            }

            // 如果cnt严格大于mid, 说明重复元素一定在[left, mid]之间
            if(cnt > mid){
                right = mid;
            }else{
                left = mid + 1;  // 否则在[mid+1, right]之间
            }

        }
        return left;
    }
}

leetcode 执行用时：3 ms > 59.94%, 内存消耗：38.6 MB > 90.11%

复杂度分析：

时间复杂度：二分法每次把值的范围缩小一半，所以二分法的时间复杂度为O(logn), 另外每次二分的过程中需要遍历整个nums数组来统计小于等于 mid 元素的个数，这里的花费是O(n), 所以时间复杂度为O(nlogn)

空间复杂度：只需要常量级别的变量空间，所以空间复杂度为O(1)

思路二: 快慢指针

参考：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number/solution/xun-zhao-zhong-fu-shu-by-leetcode-solution/

我们对 nums[] 数组建图，每个位置 ii 连一条  i→nums[i]  的边。由于存在的重复的数字 target，因此 target 这个位置一定有起码两条指向它的边，因此整张图一定存在环，且我们要找到的 target 就是这个环的入口，那么整个问题就等价于 力扣142.环形链表II & 剑指offer 55. 链表中环的入口结点。

证明为什么快慢指针可以求得入环结点可以看力扣142.环形链表II & 剑指offer 55. 链表中环的入口结点

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int slow = 0, fast = 0;
        do{
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
        }while(fast != slow);

        fast = 0;           // 快指针拉回到起点
        while(slow != fast){
            slow = nums[slow];
            fast = nums[fast];
        }
        return slow;
    }
}

leetcode 执行用时：0 ms > 100.00%, 内存消耗：38.4 MB > 99.09%,可以看到这个方式比思路一无论是空间还是时间都快很多

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)。「Floyd 判圈算法」时间复杂度为线性的时间复杂度。简略证明也可以参考我文中贴的环形链表的文章

空间复杂度：O(1)， 只需要常数个空间存放若干变量