【JZOJ3211】【SDOI2013】随机数生成器

╰(￣▽￣)╭

小 W喜欢读 书，尤其喜欢读 书，尤其喜欢读《约翰克里斯 朵夫》。 最近小 W准备读一本新书，这本一共有 p页， 页码范围为 0..p -1。
小 W很忙，所以每天只能读一页书 。为了使事情有趣一些 ，他打算使用 NOI2012上学习的线性同余法生成 一个序列 ，来决定每天具体读哪一页 。
我们用 Xi来表示通过这种方法生成出来第 i个数 ，也即小 W第 i天会读 哪一页 。这个方法 需要设置 3个参数 a，b，X1，满足 0≤a，b，X1≤p-1，且 a， b，X1都是整数 。按照下面的公式 按照下面的公式生成出来一系列的 整数。
Xi+1=(aXi+b)modp
其中 mod p 表示前面的数除以 p的余数。
可以发现，这个序列中下一个数总是由上一个数生成的 ，而且每一项都在 0..p -1这个范围内 ，是一个合法的页码。 同时需要注意 ，这种方法有可能导致某两天读的页码完全一样 。
小 W非常急切 地想去读这本书的第t页。所以他想知道， 对于一组给定的 a， b，X1，如果使用线性同余法来生成每一天读的页码， 最早读到第t页是在哪一天，或者指出他永远不会读到第t页。
p<=109

(⊙ ▽ ⊙)

容易求出x的通项公式，
设c=ba−1，
则

xn=an−1(x1+c)−c

---

特殊情况的处理：
在此之前我们必须保证a!=1；
所以我们对于a=1的情况利用扩展欧几里得求解。①
同时我们也得保证a!=0，因为当a=0并且n=1时，00是无意义的。
于是对于a=0的情况直接特判求解。②

---

此时，题目要求的是：xn≡t(mod p)，等价于：an−1(x1+c)−c≡t(mod p)。
移项可得：an−1≡t+cx1+c(mod p)

---

特殊情况的处理：
在此之前，我们还要保证x1和b不同时为0，否则会使得x1+c这个分母为0。
所以对于x1和b同时为0的情况特判求解。③

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令ans=n−1 , S=t+cx1+c，最终题目转化为求

aans≡S(mod p)

的最小正整数解。（关于ans）

于是就能套大步小步算法(BSGS algorithm)了。

(￣～￣)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="jzoj3211.in";
const char* fout="jzoj3211.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxh=1000007;
ll t,i,j,k,A,B,X1,n,mo;
ll h[maxh],minx[maxh];
bool noans;
ll hash(ll v){
    ll k=v%maxh;
    while (h[k] && h[k]!=v) k=(k+1)%maxh;
    return k;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
ll qpower(ll a,ll b){
    ll c=1;
    while (b){
        if (b&1) c=c*a%mo;
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%lld",&t);
    while (t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&mo,&A,&B,&X1,&n);
        if (A==0){
            if (X1==n) printf("1
");
            else if (B==n) printf("2
");
            else printf("-1
");
        }else if (A==1){
            ll x,y;
            k=exgcd(mo,B,x,y);
            if ((n-X1)%k) printf("-1
");
            else{
                x*=(n-X1)/k;
                y*=(n-X1)/k;
                y=(y%(mo/k)+(mo/k))%(mo/k);
                printf("%lld
",y+1);
            }
        }else if (B==0 && X1==0){
            if (X1==n) printf("1
");
            else printf("-1
");
        }else{
            ll ks=(ll)sqrt(mo),tmp=qpower(A,ks),tmd=qpower(tmp,mo-2);
            memset(h,0,sizeof(h));
            memset(minx,0,sizeof(minx));
            j=1;
            for (i=0;i<ks;i++){
                k=hash(j);
                h[k]=j;
                if (!minx[k] || minx[k]>i) minx[k]=i;
                j=j*A%mo;
            }
            ll C=B*qpower(A-1,mo-2)%mo;
            j=(n+C)*qpower(X1+C,mo-2)%mo;
            noans=true;
            for (i=0;i<=ks;i++){
                k=hash(j);
                if (h[k]){
                    ll ans=minx[k]+i*ks+1;
                    printf("%lld
",ans);
                    noans=false;
                    break;
                }
                j=j*tmd%mo;
            }
            if (noans) printf("-1
");
        }
    }
    return 0;
}

(⊙v⊙)

对于一个有递推式的问题，可以考虑先求出通项公式，在对其因式分解。