【罗宾欺诈者】回环符文——回文树（回文自动机）

问题

参考中国国家队清华集训 2011-2012 第二天的这道题。
如果我们求出第i个前缀的最长后缀回文串f[i]以及第i个后缀的最长前缀回文串g[i]。
那么ans=max{f[i]+g[i+1]}。

动态规划

此题有动态规划做法，留给读者自己思考。

蛋刀直入

Mikhail Rubinchik发明了一个自动机，叫回文树，又名回文自动机。
这个自动机满足：
一个结点代表一个回文串，特别的，有两个特殊结点，长度分别为-1和0；

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如果存在一条边(u,v)，且这条边代表字母为x，那么满足x+s[u]+x=s[v]，其中s[i]表示结点i所表示的字符串。
例如：

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每个结点u都会有一个后缀链接suf，指向另一个结点v，表示s[u]的最长后缀回文串是s[v]；
特别的，长度为1的点的后缀链接指向长度为0的点，长度为0以及-1的点的后缀链接指向长度为-1的点。

构造

我们再来考虑一下，怎么构造这个回文自动机。

设前面s都已经处理完了，现在要加入一个x字符。
与此同时，我们会维护一个suff指针，s的最长后缀回文串的结点是哪个。

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我们现在的目的是要维护s+x的最长后缀回文串。
那么显然，从当前的suff指针开始，我们沿着后缀链接一直查找；
直到找到一个串A，满足A的左边一个字符是x，那么显然当前的最长后缀回文串是xAx。
这时我们连一条(A,xAx)边，边的字母为x，同时把suff改成xAx这个结点。

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与此同时，我们要维护xAx这个回文串的后缀链接；
这依然是继续沿着原来的后缀链接找，
直到找到另一个更小的称作xBx。
那么xAx的后缀链接就指向xBx，
其中xBx一定是已有结点（？）。

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为了便于理解我们再画一个图。

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按照上述过程，我们就能对于一个字符串构造出一棵回文树了。

时间复杂度

首先我们先证明对于一个长度为n的字符串，本质不同的回文串至多有n个。

通俗来说，就是长得不一样的回文串至多有n个。
证明：
从构造时的红色？说起。

如果我们找到一个xAx，然后跟着它的后缀链接找到一个xBx。
由于xAx是一个回文串，又xBx是xAx的子串；
由回文串的性质，在xAx的另一侧肯定存在一个xBx。
再由前面的回文串都已经处理过了，所以xBx一定是一个已有的结点。

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现在我们要进行n次这样的操作对字符串建回文树，每次最多生成一个新的回文串结点。
那么最多就有n个本质不同的回文串。
得证。

总的复杂度是O(n)

设suff指向的这个回文串结点的左端点为l，右端点为r。
显然l,r都递增，每个不同的l,r我们都会进行一次匹配。
所以总的复杂度是O(n)。

回到原题

现在我们要求每个前缀的最长后缀回文串以及每个后缀的最长前缀回文串。
那么有了回文树之后，这些都易求了。
现在，顺序建一个回文树，每加入一个字母后的suff的长度就是f[i]。
逆序再做一遍，就能得出g[i]。

应用

记录各个回文串的个数

容易做到，在更新suff的时候维护即可。