【JZOJ4854】【NOIP2016提高A组集训第6场11.3】小澳的坐标系

题目描述

小澳者表也，数学者景也，表动则景随矣。
小澳不喜欢数学，可数学却待小澳如初恋，小澳睡觉的时候也不放过。
小澳的梦境中出现了一个平面直角坐标系，自原点，向四方无限延伸。
小澳在坐标系的原点，他可以向上、向左或者向右走。他可以走n步，但不能经过相同的点。
小澳想知道他有多少种走法。

数据范围测试点

1~2
n<=10
测试点3~4
n<=100
测试点5~6
n<=1000
测试点7~8
n<=10^6
测试点9~10
n<=10^9

解法

设f[i]为输入为i时，答案为f[i]，设g[i]=f[i+1]-f[i]。
找规律获得g[i]=2*g[i-1]+g[i-2]。
矩阵乘法优化即可。

---

理性解法：
设f[i]为第i步走左的方案数，g[i]为第i步往右走的方案数，h[i]为第i步往上走的方案数；
显然：

f[i]=f[i−1]+h[i−1],g[i]=g[i−1]+h[i−1],h[i]=f[i−1]+h[i−1]+g[i−1]

矩阵乘法优化即可。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="coordinate.in";
const char* fout="coordinate.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=4,mo=1000000007;
ll n,i,j,k;
struct rect{
    ll d[maxn][maxn];
    rect(){
        memset(d,0,sizeof(d));
    }
    void operator =(const rect &b){
        ll i,j,k;
        for (i=0;i<maxn;i++) for (j=0;j<maxn;j++) d[i][j]=b.d[i][j];
    }
    rect operator *(const rect &b){
        rect c;
        ll i,j,k;
        for (i=0;i<maxn;i++)
            for (j=0;j<maxn;j++)
                for (k=0;k<maxn;k++){
                    c.d[i][j]=(c.d[i][j]+d[i][k]*b.d[k][j])%mo;
                }
        return c;
    }

}a,b,ans;
rect power(rect a,ll v){
    rect c;
    bool bz=false;
    while (v){
        if (v&1){
            if (!bz) c=a,bz=true;
            else c=c*a;         
        }
        a=a*a;
        v>>=1;
    }
    return c;
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    if (n==0) printf("1");
    else if (n==1) printf("3");
    else if (n==2) printf("7");
    else{
        a.d[0][0]=7;a.d[0][1]=3;a.d[0][2]=4;a.d[0][3]=2;
        b.d[0][0]=b.d[0][1]=b.d[2][3]=b.d[3][0]=b.d[3][2]=1;
        b.d[2][0]=b.d[2][2]=2;
        a=a*power(b,n-2);
        printf("%lld",a.d[0][0]);
    }
    return 0;
}

启发

观察题目得，当前方案数肯定由上一步的方案数得出。
尝试写出动态规划方程式，然后进行矩阵乘法优化邻近状态转移。