【JZOJ4772】【NOIP2016提高A组模拟9.9】运输妹子

题目描述

小轩轩是一位非同一般的的大农(lao)场(si)主(ji)，他有一大片非同一般的农田，并且坐落在一条公路旁（可以认为是数轴），在他的农田里种的东西也非同一般——不是什么水稻小麦，而是妹子。
在小轩轩的细心培育下，他的大片农田都要结出妹子啦！但是他的农田分布实在是太广阔了，他担心自己的妹子会令路过的人想入非非，于是他想要把所有农田上的妹子都集中到一个仓库里面，贮存起来。可是妹子太多，他叫来了一辆卡车，这辆卡车刚好可以装满一个农田的妹子，并且在满载的情况下，运满满一卡车妹子走1米的费用是1元。由于小轩轩技术精湛，他的每个农田产量都是一样的。即把一个农田的妹子都运到仓库费用为农田与仓库坐标差值的绝对值。理想很美好，但现实很残酷——小轩轩还没有想好在什么位置搭建他的仓库，而且他的运输费用是有限的。
请你帮忙计算一下，在什么位置搭建仓库，使得小轩轩能收获的妹子最多。（仓库的位置可与农田的位置重合，并且在公路长度范围内）。

输入

第一行三个正整数 N，L，W，分别表示农田个数、公路总长度、总钱数。
接下来 N 行，每一行描述一个农田的坐标。（可能有多个农田位于同一位置）

输出

一个整数，小轩轩最多能够收藏多少个农田的妹子。

样例输入

5 23 18
4
6
14
18
22

样例输出

3

数据范围

对于 30% 的数据，N≤1000，L≤10000。
对于 60% 的数据，N≤10000，L≤1000000。
对于 100% 的数据，N≤100000，L≤1000000000，W≤2000000000000000。

解法

把仓库按横坐标排序后标号，
考虑一个合法区间[l,r]贡献的答案为r-l+1；(l,r∈仓库)

判断区间合法：区间内需要最少的代价不超过W；

实现：取[l,r]的中点mid，选取这个点得到的代价最少。
证明：在[l,r]内随便取一个点x；
设位于x左边的有L个仓库，位于右边的有R个仓库；
分两种情况讨论：
(1)L<R，明显将x向右移时，当前代价将减去R加上L，是正收益。R会随着x的右移而减少，L会随着x的右移而增大。当右移至L=R时，无论如何移动，代价将不会再减少。
(2)L>R，同理。
所以取[l,r]的中位数，即最优点。

问题转化为：在所有区间中找出合法并贡献最大的区间。

所有区间问题可以考虑分治，但没必要。
由于[1,r],[2,r],[3,r]..[r-1,r],[r,r]的这些区间的代价是递增的。
所以枚举右端点r再二分左端点即可。
时间复杂度为O(nlogn)。

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实际上还有O(n)做法：
设l,r分别为区间的左右端点，初始为[1,1]。
如果[l,r+1]区间合法，就把r往右移一位；否则l往右移一位。
如是循环。
答案即为所有枚举过的合法区间的最小代价。
证明待补。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ln(x,y) ll(log(x)/log(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="aP3.in";
const char* fout="aP3.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=100007;
ll n,m,n1,i,j,k,ans,tmp,tmd,tmb,xx,lef,rig,mid;
ll a[maxn],sum[maxn];
ll getsum(ll l,ll r){
    return sum[r]-sum[l-1];
}
bool judge(ll l,ll r){
    ll i,j=(l+r)/2,k=a[j];
    if (l==r) return true;
    return (k*(j-l+1)-getsum(l,j)+getsum(j+1,r)-k*(r-(j+1)+1)<=n1);
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&n1);
    for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    for (i=1;i<=n;i++){
        lef=1;
        rig=i;
        while (lef<rig){
            mid=(lef+rig)/2;
            if (judge(mid,i)) rig=mid;
            else lef=mid+1;
        }
        ans=max(ans,i-lef+1);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

启发

开始时使用了枚举横坐标的方法，难以优化到10^9级别。
这时候发现n只有10^5，且可以转化成区间问题。
就可以考虑换角度求答案了。

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再者就是学会用调整法来证明问题。
本文那个唯一的证明就是使用调整法，再来找树的重心也是调整法，有时候解题也可以使用调整法的想法。

调整法适用范围探究

调整法一般来说是O(n)的。

源于它必须要一个点无论是往哪个方向移动都容易实现，并且移动后的答案必须价值递增。