【JZOJ4756】【NOIP2016提高A组模拟9.4】幻象

题目描述

phantom是一位爱思考的哲♂学家。
最近phantom得到了森の妖精的真传。在他练功的时候, 每秒他的思绪中都有一定的概率浮现出奇♂异的幻象,持续x秒的幻象将产生x^2 的幻象值。
phantom练功发自真心,他想知道,在N秒内他期望产生的幻象值是多少。

输入

第一行包含 1 个正整数 N ，表示总时间 N 秒。
第二行包含 N 个用空格隔开的在[0,100]之间的正整数，其中第i个数a[i]表示第i秒浮现幻象的概率为百分之a[i]。

输出

1 个实数，四舍五入后保留一位小数，表示期望幻象值。

样例输入

3
50 50 50

样例输出

2.8

数据范围

对于 40%的数据 N ≤ 10
对于 60%的数据 N ≤ 100
对于 100%的数据，N ≤ 10^6
数据规模较大，请使用效率较高的读入方式。

解法

递推法：

设l[i]为第j秒持续到第i秒的概率之和(j属于[1..i])；
则l[i]=l[i−1]∗a[i]+a[i]，
拆开后等价于
l[i]=a[1]∗a[2]∗..∗a[i]+a[2]∗a[3]∗..∗a[i]+..+a[i−1]∗a[i]+a[i]

---

f[i]为在前i秒的贡献；
f[i]=f[i−1]+((l[i−1]+1)2−l[i−1]2)∗a[i]；
应该可以巧妙地转化成多个区间贡献。

---

f[n]即为答案。

Berber分治法：

考虑一个区间[l,r]贡献的答案为
(1−a[l−1])∗a[l]∗a[l+1]∗..∗a[r−1]∗a[r]∗(1−a[r+1])∗(r−l+1)2
使用分治处理出所有区间的答案即可。
1.区间跨过中点mid，直接计算；
2.区间没有跨过中点的，分治下去计算。
时间复杂度为O(nlogn)。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
using namespace std;
const char* fin="aP2.in";
const char* fout="aP2.out";
const int inf=0x7fffffff;
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
const int maxn=1000007;
int n,i,j,k;
double a[maxn],f[maxn],l[maxn];
int main(){
    n=read();
    for (i=1;i<=n;i++) {
        j=read();
        a[i]=j/100.0;
        l[i]=(l[i-1]+1)*a[i];
    }
    for (i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+(sqr(l[i-1]+1)-sqr(l[i-1]))*a[i];
    printf("%.1lf",f[n]);
    return 0;
}

启发

两种方法本质一样。
当遇到要处理所有区间得到的贡献时，可以考虑分治。