最大公约数

•最大公约数：两个不同时为0的a与b的公约数中最大的称为最大公约数,记为gcd(a,b)

•最大公约数的基本性质：

•gcd(a,b)=gcd(b,a)

•gcd(a,b)=gcd(-a,b)

•gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)

•gcd(a,0)=|a|

•gcd(a,k*a)=|a|

•gcd(a*n,b*n)=n*gcd(a,b)

•若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)

•若n|ab且gcd(a,n)=1,则n|b

•若gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1,则gcd(a*b,p)=1

问题一：给定a,b，计算gcd(a,b)

•方法1：枚举法

　　从min(a,b)到1枚举x，并判断x是否能同时整除a和b,如果可以则输出x退出循环。时间复杂度为O(min(a,b))。

•方法2：分解质因子

　　对a,b分别分解质因子，$a={p_1}^{x_1}*{p_2}^{x_2}*...{p_n}^{x_n}$，$b={p_1}^{y_1}*{p_2}^{y_2}*...{p_n}^{y_n}$，其中xi,yi>=0且不会同时为0(1<=i<=n)，则　　　　

　　　　gcd(a,b)=${p_1}^{min({x_1},{y_1})}$*${p_2}^{min({x_2},{y_2})}$*...${p_n}^{min({x_n},{y_n})}$。

　　如何分解a和b?

　　以a为例,根据唯一因子分解定理，从2开始依次枚举因子i，如果i能整除a,则把i从a中分解出去,再考虑i+1。如果a是合数，则一定存在a=b*c(b<=c,b!=1,c!=n),则有b*b<=b*c=a,b<=$sqrt a$。即如果a是合数则在2到$sqrt a$内一定存在质因子,循环i执行到i*i>a为止,如果a不等于1，则a也是素因子。

•方法3：欧几里得算法

•定理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

••证明（1）：

　　设gcd(a,b)=p,则有a=a'*p,b=b'*p,gcd(a',b')=1

　　a mod b=a-$a over b$*b=p*(a'-$a over b$*b')

　　gcd(b,a mod b)=gcd(b'*p,p*(a'-$a over b$*b'))=p*gcd(b',a'-$a over b$*b')

　　证明gcd(b',a'-$a over b$*b')=1:

　　反证法，如果gcd(b',a'-$a over b$*b')=t(t>1)设b'=b''*t,a'-$a over b$*b'=c'*t,则有a'=$aover b$*b''*t+c'*t=t*($a over b$*b''+c')$显然t|b',t|a',与gcd(a',b')=1相矛盾

　　所以gcd(b,a mod b)=p=gcd(a,b)

••证明（2）：

　　a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是(a,b)的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d是(b,a mod b)的公约数，则d|b,d|r，但是a = kb +r

　　因此d是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

••时间复杂度分析(1)：

　　根据(a,b)=>(b,a mod b),

　　设a>b：

　　①当a>=2*b时,b<=a/2,规模至少缩小一半；

　　②当a<2*b时,a mod b<a/2

　　时间复杂度为O($log_N$)

••时间复杂度分析(2)：

•••定理：斐波那契数列f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=2)。a>b>=1且Euclid(a,b)执行了k(k>=1)次递归调用，则a>=f(k+2),b>=f(k+1)

••••证明：数学归纳法

     ①当k=1时,b>=f(2)=1,因a>b,所以a>=2=f(3)，成立。

     ②假设当k=x时成立,即满足a>=f(x+2),b>=f(x+1),当k=x+1时：

     第一次递归调用(a,b)变成(b,a mod b),由于从(b,a mod b)开始递归调用了x次完成,所以满足：

     b>=f(x+2),a mod b>=f(x+1)

     又因为a>b,所以a>=b+a mod b>=f(x+2)+f(x+1)=f(x+3)

     即当k=x+1时,a>=f(x+3),b>=f(x+2),同样满足结论！

     ③得证！

••••计算f(n)的公式：参见附录

••••时间复杂度O(${log_phi}^{{sqrt 5 *b} over {gcd(a,b)}}$    )

•方法4：二进制法

　　①a<b时,gcd(a,b)=gcd(b,a)

　　②a=b时,gcd(a,b)=a

　　③a,b同为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a/2,b/2)

　　④a为偶数,b为奇数时,gcd(a,b)=gcd(a/2,b) 

　　⑤a为奇数,b为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a,b/2)

　　⑥a,b同为奇数时,gcd(a,b)=gcd(a-b,b)

　　⑦适合求高精度数的最大公约数

 

附录A：

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

附录B：

 方法二：

     void Decompose()
     {
         for(int x=2;x*x<=min(a,b);x++)
         {
             while (a % x==0 && b % x==0){a/=x;b/=x;ans*=x;}
             while (a % x==0)a/=x;
             while (b % x==0)b/=x;
         } 
         if (a % b==0)ans*=b;
         else if (b % a==0)ans*=a;
         printf("%d",ans);
     }

方法三

int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a;}

方法四

int Gcd(int m,int n){
    if (m==n) return m;
    if (m<n) return Gcd(n,m);
    if (m & 1==0) return (n & 1==0)? 2*Gcd(m/2,n/2):Gcd(m/2,n);
    return (n & 1==0)? Gcd(m,n/2): Gcd(n,m-n);
}

 附录C

计算斐波那契数列的方法