布于 2021-09-06 23:42
写在前面
我的好朋友们，大家好哎~ 好久没有更新啦，所以今天xia写一些东西，谈一下自己对集合的认识，代表我还在呢！^-^ 反正最近就是去外边干项目了，又学了一堆奇奇怪怪的知识，也发生了许多神奇的事情~~~
摘要: 本文的相关内容主要取自本学年开设的泛函分析课程，对集合的势理论做了深入的分析与思考，其中还涉及了映射关系、集合势的意义、无穷大与阿列夫数以及一些看起来的悖论命题等部分。
1引言
初次接触泛函分析，心里还是怀着激动的心情，毕竟几年都没有接触数学方面的知识，对于这门课在自己后面的科研学习中到底有多大的作用，暂时我还不能得知，但隐隐约约感到这一门课程将会影响我的数学思维，给我带来潜移默化的影响。相信大多数人对于数学的直观感受就是晦涩难懂，尤其是像泛函分析这种纯理论推理证明的课程，有这些感受我认为是很正常的，至少当初自己也是这么认为的，但总的来讲正是有了这些高度抽象的理论，才让我们发现了宇宙的奥妙以及事物的本质，比如海王星的发现，光的波粒二象性等等，无不涉及数学。而相比数学中的那些定理公式，我更喜欢那些定理公式后有趣的数学故事，比如像希尔伯特的"旅馆"、牛顿的"苹果"等，因为每一个故事背后都蕴含着深刻的理论，通过这些故事更能深入地理解那些理论，也会使得数学显得不在那么枯燥乏味，尤其是像泛函分析这类纯理论推理证明的课程。说是应用泛函分析课程，倒不如说是预备知识课程，因为学习泛函分析需要掌握众多的基础理论知识，像集合、映射、势、测度以及距离空间等一系类的预备知识。本来打算要写对测度理论的理解与分析，由于测度自己学的还不够深入，想了想还是写写自己比较感兴趣的集合这个专题，本文将主要围绕集合的势进行展开，分享一下自己的所学所想。
2集合里的映射关系
映射作为集合中常见的一种对应关系，算是比较重要的概念。映射关系在日常生活当中，也是非常的普遍，比如在一定年龄段，你的身高总是与体重呈现某种关系，这是一种简单的映射。在数学当中，函数作为一种常见的映射，相信你已经再熟悉不过了，对于一元连续函数，每一个自变量值都对应着因变量值；而对于一个双曲线函数，往往一个自变量值有可能对应着两个因变量值；不管是一元函数还是双曲线函数等等，这里的自变量为因变量在函数关系下的原像，而因变量称为自变量在函数关系下的像，而这个函数就称之为自变量到因变量的一种映射关系。由于映射关系的不同，所以出现了几类常见的映射关系，有双射、单射以及满射等等。在谈论这几种映射关系之前，我想先来阐述一下集合的定义，先来看书中的定义是，把具有某种特定性质的具体的或抽象的对象的全体称作集合，这显然很难去理解。根据朴素集合论的定义，只要满足两个条件：一是所有满足条件的元素都在集合内，二是集合里的所有元素都满足条件，这似乎看起来就没有那么抽象了，但这么简单的定义肯定会出问题的。在课程学习中老师曾给出这样的集合： 集合 那么， 是否成立，我们来思考一下，假设 ，那么显然满足“ ”的条件，所以 ；再做另外一种假设 ，那么集合内的元素应该满足“ ”的条件，所以 ，这个问题被称之为罗素悖论，查阅相关资料显示罗素悖论引发了第三次数学危机，至今还仍未完全化解，现在做的最好的就是 公理系统加上选择公理称之为 公理系统。
有了集合的初步概念，再进一步来看那几种映射，我画了几幅图以来清楚地表示这几种关系，如图1所示。好了，阐述了一些基础理论，做好铺垫之后，接下来开始讨论一些有关集合势理论的话题，也是本次写作的重心。3集合势理论
要说理解“势”，我们先从字面意思看起，“势”在汉语中意思是形势、势力，代表的是一种范围大小，所以说集合的势也必定是用来表征集合大小的东西。众所周知，关于事物的多与少是很普通的概念，例如吃饭的时候，假如有人问：桌子上放的碗的个数与吃饭的人数哪个多？这个问题其实很简单，只要规定每个人可拿一个碗且最多只能拿一个碗，最后，如果有人没有拿到碗，那么便是人数多于碗的数目；如果桌子上的碗有剩余，说明人数少于碗的数目；再如果是每个人都拿到了碗且桌子上没有剩余的碗，那就说明人数与碗的数目一样多。在这个问题当中，我们无形之中就运用了集合势的理论，正因为有了势的概念，才使得比较有了实际的意义,下面来看一些具体的实例。对于有限集，比如 ,要比较这两个集合的大小，那实在太容易了，集合 有 个元素，称集合 的计数为 ；同理集合 的计数为 。在本门课程中有这样的规定，有限集的势为集合的计数，所以对于上面这个例子，集合 的势就为 ，记作 ，同样集合 的势为 ，记作 ，因为 ，所以集合 的元素比集合 多。
有限集的对立面自然就是无限集，所有不是有限集的集合就是无限集，无限集是存在的，例如自然数全体 ；在这里需要补充一下，什么是对等？对等就是 、 两个集合存在一个 到 的一一对应关系，就表明 与 对等，记作 。刚才提到的自然数全体 ，其实能和它的真子集 (偶数全体)对等，这里做以简单的阐释，感觉还是很有意思的： 存在一种映射 满足条件 ,使集合 与 一一对应，所以 ,故两集合的势相等，说明“正偶数和正整数一样多”，但这看起来似乎是个悖论，感觉自然数显然要比偶自然数要多一倍，这也是数学有意思的地方，为了更严谨的表达，我觉得称两集合的势一样大会更好一些。通常凡是与自然数 对等的集合称为可列集，可列集是最小的无限集，因为无限集必与它的一个真子集对等，所以任何无限集必含有一可列子集，可列集的势记为“ ”（读作“阿列夫零”）。
4无穷大与阿列夫数
"无穷”这一概念，可能在我们很小的时候，就有自己独立的见解。比如当被人问我们要多少糖时，我们可能总要说很多很多，这个“很多很多”其实并没有一个实际的量化值，总之非常的大，而像这样，没有极限，没有止境，也没有终点，正是“无穷”的概念。读过一本叫做《从一到无穷大》的书，从微观世界过渡到宏观宇宙，正是诠释了从无穷小到无穷大的内涵，因为“无穷”是世间的本质特征，有时可能真的是“只可意会不可言传”。当初次接触“无穷”的时候，有时可能很容易将自己绕进去，就比如上一节所提到的正自然数与正偶自然数的问题，从整体上来看，我们运用“无穷”的思维会发现，两者是一样多的，因为他们都有“无穷”多个元素，但是又仔细一想，明显自然数要比偶自然数多一半，这显然是相悖的，这也就是为什么要引入集合势概念的理由。 考虑上一节所提到的阿里夫数，会自然的想到这与无穷大有什么关系呢？看起来两个都很大，刚接触时可能会认为 是无穷大， 是更大的无穷大，没错当初我也是这么认为的。但随着课程进一步的学习，我发现两者的概念其实并没有太大的交集，因为无穷大是为了描述一个要多大有多大的数，而阿列夫数描述的则是无限集的势的大小。总的来讲，无穷大描述的是“大”，而阿列夫数描述的是“多”，两者并不能同日而语。5一些表面看似悖论的命题
要说明以下这些集合两两之间等势，只需要在两者之间找到一个一一对应的关系即可，由于这是一篇关于集合势理论的思考写作，我就也没必要去将严格的证明列在这里，只是想以课程学习到的推理思维做以简单分析。5.1 整数集 与有理数集 的势等同
众所周知，一个有理数 可写成一个分数 ，其中 均为整数，并规定 ,通过改变记号，将分数 与平面上的点 对应起来；由于， 的全体均是可列的，因此平面上的点 的全体也是可列集，所以两者的势自然相同的。5.2 全体实数集与 的势等同
对于这个问题，我们很容易可以找到一个映射，作 到 的映射 ， ，显然这是 到 的一一对应，所以全体实数集的势也为 。5.3 直线上的点集与平面上的点集势等同
这个问题其实是很不直观的，我们可以想象一条直线上的点集怎么会和平面上的点一样多呢，但事实往往和我们想象的不大一样。数学存在的意义，有时并不是那么明显，不像物理世界实实在在的东西，你可能一时半会也看不到立竿见影的效果，但这恰恰才是数学的魅力之所在。 对于这个问题，我们可以先将直线点集双射于 ，平面点集双射于 ，下来任取一个数 ，然后取 的奇数位上的数拼成： ,偶数位上的数拼成： ，将其分别赋值给 ，得到 ，以此类推，这样就形成了一个一一映射，则两集合对等，即势也一样大。5.4 希尔伯特的“旅馆”
在泛函分析课程学习当中，有这样一个故事，我觉得很有意思，这恰好就是一个集合之间对等的问题。其中故事是这样描述的：在一个拥有“无穷”个单人间的旅馆，里面住满了“无穷”多个客人，这时又来了“无穷”多个新客人要求住店，这时旅馆可以让现有住在房间 的客人搬进房间 ，也就是说让 号房的房客搬进 号房，让 号房的人搬进 号房，以此类推，这样奇数号房就都被腾出来了，因为奇自然数集与自然数集是等势的，所以被腾出来的奇数号房间是可以供给“无穷”多个新房客入住，想想还真是不可思议，这要是放在现实生活中，显然是无法实现的。6结语
不知不觉也写了这么多内容了，这次主要将泛函分析课程中涉及的有关集合的内容作了一些报告，针对集合势理论作了相关的分析和思考，但其中也包含了自己对映射、集合的大小、无穷的概念以及一些看似悖论的命题等要点的理解。其次课程中涉及的测度、距离空间等概念也非常令我着迷，因为这些对我来讲都是全新的，那总是会充满期待的。此外，在这里需要说明的是，这次写作的语气还是比较接地气的，因为我觉得既然是对某个话题的分析与思考，也没有必要那么正式，那样会显得有些僵硬更不好去表达自己的见解。最后我想说的是，通过本次的分析与思考，虽然这门课程有一大堆定理推理证明有许多自己还未真正的掌握，但是每一次的推理证明过程，都让我有一种耳目一新的感觉，能收获许多的数学方面考虑问题的思维，我想这也是这门课程最大的收获。课程的学习让我认识到了又一个全新的数学世界，不在仅仅局限于当初中学乃至本科所接触的数学空间。
7参考文献
[1] 薛小平，张国敬等. 应用泛函分析[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.[2] 夏道行等. 实变函数论与泛函分析(上册)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.