作者：王业磊
链接：https://www.zhihu.com/question/20343349/answer/17347657
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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数学中最优化问题的一般表述是求取
，使
，其中
是n维向量，
是的可行域，
是上的实值函数。
凸优化问题是指是闭合的凸集且是上的凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。
其中，是 凸集是指对集合中的任意两点
，有![tx_{1}+(1-t)x_{2}in chi,tin[0,1]](https://www.zhihu.com/equation?tex=tx_%7B1%7D%2B%281-t%29x_%7B2%7D%5Cin+%5Cchi%2Ct%5Cin%5B0%2C1%5D)
，即任意两点的连线段都在集合内，直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。至于闭合的凸集，则涉及到闭集的定义，而闭集的定义又基于开集，比较抽象，不赘述，这里可以简单地认为闭合的凸集是指包含有所有边界点的凸集。
是凸函数是指对于定义域中任意两点，有![f(t x_{1}+(1-t) x_{2}) ge t f(x_{1})+(1-t)f( x_{2}),tin[0,1]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28t+x_%7B1%7D%2B%281-t%29+x_%7B2%7D%29+%5Cge+t+f%28x_%7B1%7D%29%2B%281-t%29f%28+x_%7B2%7D%29%2Ct%5Cin%5B0%2C1%5D)
，直观上就是向下凸出，如下图示意。
实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：
凸优化问题是指
其中，
实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：
- 目标函数
- 决策变量
- 约束条件写成
时，
如果不是凸函数，则不是凸优化问题