正睿19暑期B班DAY6 DP

毛姐姐的ppt做的真好看///

动态规划

由于ppt里真的很详细了，建议看ppt理解

这里做一些小批注

• Gcd Counting

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• You are given a tree

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证明：f中不同的取值个数是(sqrt{n})级别的

当(k leq sqrt{n})时 必然只有不多于(sqrt{n})种取值

当(k geq sqrt{n})时 (ans leq n / k， n / k leq sqrt{n}) 所以也不多于(sqrt{n})种取值

小套路：对于单调的答案 边界上二分

(O(n sqrt{n} log n))

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• Vladislav and a Great Legend

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(x^k = sum_{i = 0}^{x} binom{x}{i} i! S(k, i))

(S(k, i))是第二类斯特林数

表示将k个不同元素拆分成i个集合（k个不同的球放进i个相同的筐）的方案数

S[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= k; ++i)
    for(int j = 1; j <= i; ++j){
        S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + (ll)(S[i - 1][j] * j % P) % P);
    }

关于这个式子的解释。。

(x^k)可以看作k个不同的筐里 每个筐放1~x个相同的小球

右边(sum_{i = 1}^{x})是枚举有多少个本质不同的筐（本质不同就是里面放的小球数不同

我们让筐拥有姓名 就乘上( binom{x}{i})，表示选择这i个本质不同的筐各有多少个小球，但球数相同的筐仍然是一样的，而且我们并不知道每种球数的筐有几个

(i!S(k, i))是k个姓名，被放进i个集合，并把集合排序分发给筐，于是筐和球过上了幸福的生活

用这个也可以导出斯特林数通项公式

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(ans = sum_{x}sum_{i = 0}^{k} binom{f(X)}{i}i!S(k, i))

(sum_{i = 0}^{k} i!S(k, i) sum_{x} binom{f(X)}{i})

背包size和k取一个min 可以分析出这样的背包复杂度为(O(nk))

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• Uniformly Branched Trees

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有t棵子树大小等于k

(f[i][j][k] = f[i - t * k][j - t][k - 1] binom{f[k][d - 1][k - 1] + t - 1}{t})

解释一下这个式子

(f[i][j][k])表示节点数为i，共有j棵⼦树，有t棵子树的大小等于k

(f[i - t * k][j - t][k - 1])很显然啦

(f[k][d - 1][k - 1])是因为要求中间节点度数为d 而且它每棵子树多大并不限制

确定了前d - 1个子树之后 为了保证总点数为k 最后一棵子树的点数也确定了

( binom{f[k][d - 1][k - 1] + t - 1}{t})表示在X种⽅案中不分顺序地选取t种，可重复的⽅案数

最后的答案

(ans = f[n][d][frac{n}{2}] - binom{f[frac{n}{2}][d - 1][frac{n}{2} - 1] + 1}{2})

注意右上角的加一是因为左右两部分可以相同形态，所以需要增加一个选项

(O(n^2d^2))

• Multiplicity

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• Maximum Element

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递推式分析

(f[i] = sum f[j - 1] binom{i - 1}{i - j} (i - j)!)

枚举最大值出现在j的位置 满足前j-1个数允许最大值出现

( binom{i - 1}{i - j} (i - j)!)表示第j位（即最大值）之后填充的是哪几个数字以及它们的排列

• Easy Problem

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子序列做法：(f[i](0 leq i leq 3))表示现在最多有i个字母的最小代价

若s[i]为第j个字母 那么(f[j] = min(f[j - 1], f[j] + a[i]))

子串做法：单词内贪心一下，每个hard取四个字母中最小代价作为代价

• Kuro and Topological Parity

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其实并不用在状态里记录数量

• Hero Meet Devil

感觉所谓dp套dp

就是把一些影响统计并且随着转移改变的量写进状态里

• XHXJ’s LIS

与上一题很类似 因为LCS非常短 用状态压缩模拟一般的求LCS过程