Edmonds-Karp算法

简单介绍一下,( ext{EK})是每次找到一条经过的边数最少的增广路进行流量增广的算法.在每轮寻找增广路的过程中，( ext{EK})算法只考虑图中(f(u, v)<c(u, v))的边，任意一条能从(s)通到(t)的路径都是一条增广路。根据斜对称性，反边都是可以走的。记录下该路径上的最小残量和前驱，到达(t)时可以退出( ext{BFS})，然后从(t)回溯到(s)更新经过的边的容量。时间复杂度：(O(nm^2))，一般能处理(10^3)~(10^4)规模的网络。

下面证明一下( ext{EK})的复杂度(可以跳过直接看下方代码).

引理1:

设(f_i)为增广(i)次之后的容许流(即已经选择流过的合法网络),(lambda^k(u,v))表示(f_k)中(u)到(v)的最短路长度,则:

[lambda^k(S,v)le lambda^{k+1}(S,v),lambda^k(v,T)lelambda^{k+1}(v,T) ]

证明:

假设(f_{k+1})中一条从(S)到(v)的最短路为(S ightarrow u_1,cdots, ightarrow u_{x-1} ightarrow u_x,u_x=v,lambda^{k+1}(S,v)=x).
记(e_i=(u_{i-1},u_i)).
若(e_i)在(f_k)中同样可用,即(f(u_{i-1}, u_i)<c(u_{i-1}, u_i)),则(lambda^k(S,u_i)le lambda^k(S,u_{i-1})+1);
若(e_i)在(f_k)中不可用,则(e_i')((e_i)的反向边)必然可用.而且因为(e_i)在(f_k)中不可用,在(f_{k+1})中变成可用,说明(e_i')在(f_k)中被进行了增广使得(e_i)可用.也就说明了(e_i')在(S)到(v)的最短路上,即(lambda^k(S,u_{i-1})= lambda^k(S,u_{i})+1),也满足上面的不等式.
综上所述,(lambda^k(S,v)=lambda^k(S,u_x)le x=lambda^{k+1}(S,v))

引理2:

设边(e)在(f_k)变为(f_{k+1})的增广路中,(e')在(f_j)变成(f_{j+1})的增广路中((k<j)),则有:

[lambda^{j}(S,T)ge lambda^{k}(S,T)+2 ]

证明:

假设(e=(u,v)),则:(lambda^{k}(S,v)=lambda^{k}(S,u)+1,lambda^{j}(S,T)=lambda^{j}(S,v)+1+lambda^{j}(u,T))
由引理1:
(lambda^{j}(S,T)ge lambda^{k}(S,v)+1+lambda^{k}(u,T)=lambda^{k}(S,u)+lambda^{k}(u,T)+2=lambda^{k}(S,T)+2)

若(e)在(k_1,k_2,cdots,k_x)中在最短增广路上,则必有(j_1,j_2cdots)使得(k_1<j_1<k_2<j_2<cdots),且(e')在(j_1,j_2cdots)中在最短增广路上.因为(1le lambda^{k_1}(S,T),lambda^{k_x}le n),所以(xlefrac{n+2}{4}).即每条边最多被增广(frac{n+2}{4})次,而每次增广的复杂度是(O(m))的,总的复杂度即为(O(frac{n+2}{4}*m*m)=O(m^2n)).
证毕.

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=10000+10;
const int maxm=100000+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int head[maxn],to[maxm<<1],nxt[maxm<<1],val[maxm<<1];
int tot=1,maxflow=0;
int pre[maxn],minf[maxn];
int n,m,s,t;
struct Queue
{
	int a[maxn];
	int l,r;
	Queue() {l=1,r=0;}
	void push(int x) {a[++r]=x;}
	void pop() {l++;}
	int front() {return a[l];}
	bool empty() {return l>r;}
}q;

int min(int x,int y) {return x<y?x:y;} 
void add(int u,int v,int w)
{
	nxt[++tot]=head[u];
	head[u]=tot;
	to[tot]=v;
	val[tot]=w;
}
bool bfs()
{
	memset(pre, 0, sizeof(pre));
	pre[s]=-1;
	minf[s]=INF;
	q=Queue();
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			if (pre[v]||!val[i])
				continue;
			pre[v]=i;
			minf[v]=min(minf[u], val[i]);
			q.push(v);
			if (v==t)
				return 1;
		}
	}
	return 0;
}
void update()
{
	int u=t,d=minf[t];
	while(u!=s)
	{
		int i=pre[u];
		val[i]-=d;
		val[i^1]+=d;
		u=to[i^1];
	}
	maxflow+=d; 
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for (int i=1;i<=m;i++) 
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u, v, w),add(v, u, 0);
	}
	while(bfs())
		update();
	printf("%d
",maxflow);
	return 0;
}