约定
- 本文中字符串下标从1开始
- 后缀(i)表示(s[idots n])
简述
后缀数组(Suffix Array)主要由两个数组组成：(sa)和(rank)。
其中(sa_i)表示排名为(i)的后缀，(rank_i)表示后缀(i)的排名。其二者构成了双映射的关系，即：(sa_{rank_i}=i,rank_{sa_i}=i)。
由于我们知道子串可以视作某个后缀的前缀，所以有时会在字符串的题目中利用此性质用到后缀数组。
(O(nlog^2n))解法
若一次比较的复杂度是(O(1))的，显然直接可以利用(sort)获得(O(nlogn))的排序复杂度。但对于两个字符串无法实现比较的(O(1))。回想字符串的比较方式，先找到两者的(lcp)（最长公共前缀），再比较下一位的大小即可（下一位为空视为最小）。也就是说，只要有较为快速的方法找到(lcp)，就可以快速地进行比较。此时可以利用二分的方法，用哈希值判断是否相等，(O(log n))地找到两者的(lcp)并实现大小的比较。于是整体的排序复杂度即为(O(nlog^2n))
有可能遇上哈希冲突的问题，但此种方法胜在好写。
(O(nlogn))解法
这是一种基于倍增思想的做法。
先对每个长度为1的子串（即每个字符）进行排序。
当已知长度为(w)的所有子串排名情况时，对于长度为(2w)的所有子串，其比较就是一个双关键字的比较。即先比较长度为(w)的前缀，若相等再比较后缀。超出(n)的部分统一视为无穷小，不会影响原子串的大小判断。等到(w)足够大((ge n-1))时，由于(s[idots i+w])与后缀(i)的排名相同，最后得到的(sa_i)即为所求。
假设每次对长度为(w)的排序都可以实现(O(n))的时间复杂度，则总体便可以达到(O(nlogn))。因为在此背景下值域为排名，与(n)同阶，可以直接采用内层套用计数排序的基数排序实现(O(n))的排序。