有依赖的背包问题

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题目描述

有依赖的背包问题是指物品之间存在依赖关系，这种依赖关系可以用一棵树来表示，要是我们想要选择子节点就必须连同父节点一块选。
我们可以吧有依赖的背包问题看成是分组背包问题中的一个组，子节点的每一种选择我们都看作是组内的一种物品，因此我们可以通过分组背包的思想去写。
但它的难点在于如何遍历子节点的每一种选择，即组内的物品，我们的做法是从叶子节点开始往根节点做，并使用数组表示的邻接表来存储每个节点的父子关系。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
/*h数组是邻接表的头它的下表是当前节点的标号，值是当前结点第一条边的编号（其实是最后加入的那一条边），e数组是边的集合，它的下标是当前边的编号，数值是当前边的终点；
ne是nextedge，如果ne是-1表示当前结点没有下一条边，ne的下标是当前边的编号，数值是当前结点的下一条边的编号，idx用于保存每一条边的上一条边的编号。
这样我们就知道了当前结点的第一条边是几，这个边的终点是那个结点，该节点的下一条边编号是几，那么邻接表就完成了
*/ 
int v[N],w[N],f[N][N]; 

void add(int a,int b){
    e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;//该方法同于向有向图中加入一条边，这条边的起点是a，终点是b，加入的这条边编号为idx 
}

void dfs(int u){
    for(int i = h[u];i!=-1;i = ne[i]){//对当前结点的边进行遍历 
        int son = e[i];//e数组的值是当前边的终点，即儿子结点 
        dfs(son); 
        for(int j = m-v[u];j>=0;j--){
        //遍历背包的容积，因为我们是要遍历其子节点，所以当前节点我们是默认选择的。
        //这个时候当前结点我们看成是分组背包中的一个组，子节点的每一种选择我们都看作是组内一种物品，所以是从大到小遍历。
        //我们每一次都默认选择当前结点，因为到最后根节点是必选的。 
            for(int k = 0;k<=j;k++){//去遍历子节点的组合 
                f[u][j] = max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]);
            }
        }
    }
    //加上刚刚默认选择的父节点价值
    for(int i = m;i>=v[u];i--){
        f[u][i] = f[u][i-v[u]]+w[u];
    }
    //因为我们是从叶子结点开始往上做，所以如果背包容积不如当前物品的体积大，那就不能选择当前结点及其子节点，因此赋值为零 
    for(int i = 0;i<v[u];i++){
        f[u][i] = 0;
    }
}

int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    int root;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        int p;
        cin>>v[i]>>w[i]>>p;
        if(p==-1){
            root = i;
        }else{
            add(p,i);//如果不是根节点就加入邻接表,其中p是该节点的父节点，i是当前是第几个节点
        }
    }
    dfs(root);
    cout<<f[root][m]<<endl;
    return 0;
}