112.雷达设备

原题链接：112. 雷达设备

解题思路

贪心 O(nlogn)

如下图所示，对于任意一个小岛 (x,y)，我们都可以在海岸线上求出能覆盖该小岛的建造雷达的区间 [a,b]。

由勾股定理可知

• a = sqrt{d²-y²}
• b = sqrt{d²-y²}

将所有小岛转化成区间后，问题转化为：给定 n 个区间，在 x 轴上选择尽量少的点，使得所有区间至少包含一个点。

算法步骤：

1. 将所以区间按右端点从小到大排序；
2. 依次考虑每个区间：
   • 如果当前区间包含最后一个选择的点，则直接跳过
   • 如果当前区间不包含最后一个选择的点，则在当前区间的右端点的位置选择一个新的点。

证明：

首先上述做法一定可以保证所有区间至少包含一个点：

然后我们再证明这样选出的点的数量是最少的，不妨设选出的点数为m：

• 按照上述做法，我们选择的点都是某个区间的右端点，而且由于区间按右端点排好序了，所以我们选择的点也是排好序的；
• 只有在当前区间和上一个点所对应的区间是没有交集时，我们才会选择一个新点，所以所有选出的点所对应的区间是如下图所示的情况，两两之间没有交集。

所以我们找到了m个两两之间没有交集的区间，因此我们至少需要选m个点。而且通过上述做法，我们可以只选m个点。因此最优解为m。

时间复杂度

1. 计算每个坐标所对应的区间，需要O(n)的计算量。
2. 将所有区间排序需要O(nlogn)的计算量。
3. 扫描所有区间需要O(n)的计算量；

所以总共的时间复杂度为O(nlogn).

样例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 1010;
const double eps = 1e-6, INF = 1e10;
int n, d;
PDD seg[N];
int main()
{
    cin >> n >> d;
    bool success = true;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        if(y > d)
        {
            success = false;
            break;
        }
        auto len = sqrt(d * d - y * y);
        seg[i] = {x + len, x - len};
    }
    if(!success)
        puts("-1");
    else
    {
        sort(seg, seg + n);
        int res = 0;
        double last = -INF;
        for(int i = 0; i < n; i ++)
        {
            if (seg[i].second > last + eps)
            {
                res ++ ;
                last = seg[i].first;
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}