线段树是一种十分方便的数据结构，可以解决多段连续区间的查询问题
对比其他一些数据结构，线段树能够解决的问题是动态的，这也是线段树的特性
线段树的性质还有每个节点保存一个线段，以及左节点保存的线段是父节点保存的线段的左半段，右子节点反之
（即当父节点保存的线段为[1,n],左子节点保存的线段为[1,(1+n)/2],而右子节点保存的线段为[(1+n)/2+1,n]）
由于线段树是一颗完全二叉树，所以每个操作的复杂度大概保持在O(log n)
线段树可以做到的操作有如下：
1）构建线段树；
2）区间查询；
3）区间或单点修改；
（单点查询即为左右端点相等的特殊区间查询，单点修改也是同理）
那话不多说（已经不少了），接下来就对以上几种操作举例说明（这里统一以维护区间的和为例）
1）线段树的构建
就是递归构造一个树结构
1 int a[200010];//a[i]记录数组 2 struct node{int val;}tree[400010];//tree用于构造线段树 3 //root 当前父节点 4 //l 当前节点保存区间的左端点 5 //r 当前节点保存区间的右端点 6 void bdt(int root,int l,int r) 7 { 8 if(l==r) //当节点保存的区间是一个点时，记录该元素 9 {tree[root].val=a[l]; return;} 10 //递归构建子树 11 bdt(rt*2,l,(l+r)/2); 12 bdt(rt*2+1,(l+r)/2+1,r); 13 //将左右子节点的值回溯到当前节点上 14 tr[rt].val=tr[rt*2].val+tr[rt*2+1].val; 15 }
2）区间查询
区间的查询就是将要查询的区间划分为线段树上节点保存的区间，然后通过节点的合成得到目的区间的值
1 //root,l,r同上 2 //f 查询目标区间的左端点 3 //t 查询目标区间的右端点 4 int query(int root,int l,int r,int f,int t) 5 { 6 //如果查询区间与节点区间没有交集则返回0（0对求和没有影响） 7 if(t<l || f>r) 8 return 0; 9 //如果节点区间包含于查询区间则返回当前区间的求和值 10 if(f<=l && t>=r) 11 return tree[root].val; 12 //左右子树递归将求和保存到父节点 13 return query(root*2,l,(l+r)/2,f,t)+query(root*2+1,(l+r)/2+1,r,f,t); 14 }
可以见得，由于所选的区间尽量少，所以很大程度上节省了时间复杂度，大概节省到了O(log n)
还要记得使用线段树解决问题有一个条件——问题是可以分解解决的
3）单点及区间的修改
首先是单点修改
1 //root,l,r仍然同上 2 //k 要修改的点 3 //add 要增加的值 4 void update(int root,int l,int r,int k,int add) 5 { 6 //当节点是叶子节点执行修改 7 if(l==r) 8 {if(k==l) tree[root]+=ad; return;} 9 //递归左右字数寻找目标节点 10 int mid=(l+r)/2; 11 if(k<=mid) 12 update(root*2,l,mid,k,add); 13 else update(root*2+1,mid+1,r,k,add); 14 //回溯更新父节点（可见回溯在线段树中还是很重要的） 15 tree[root]=tree[root*2]+tree[root*2+1]; 16 }
然后是区间修改
区间修改要是也和上面一样那就失去了线段树的意义了（笑
于是就需要一个很有意思的操作——对每个点维护一个延迟标记
这个标记可以记录节点受到了什么样的修改，而这个修改会影响他的子节点
当我们找到一个节点并且判断需要考虑其子节点，就将这个节点的延迟标记向子节点传递，并将这个节点的标记清零
恩...由于这个操作新加入了一个元素，就破坏了以上代码的连续性，这里决定直接上例题（cogs上的一道模板题）
1317. 数列操作c
★★☆ 输入文件：shuliec.in 输出文件：shuliec.out 简单对比
时间限制：1 s
内存限制：128 MB
所有答案小于4611686018427387904
【问题描述】
假设有一列数 {Ai }(1 ≤ i ≤ n),n<=100000 ，支持如下两种操作：
(1)将 A i至A j 的值均增加 D 。（ i,j,D 是输入的数）
(2) 输出 A s +A s+1 +…+A t 。（ s, t 都是输入的数， S ≤ T ）
根据操作要求进行正确操作并输出结果。
【输入格式】
输入文件第一行一个整数 n ，
第二行为 n 个整数，表示 {A i } 的初始值。
第三行为一个整数 m ，表示操作数
v 下接 m 行，每行描述一个操作，有如下两种情况：
ADD i j d ( 表示将 A i至A j 的值均增加 D ， 1<=i,j<=n ， d 为整数 )
SUM s t （表示输出 A s +…+A t ）
【输出格式】
对于每一个 SUM 提问，输出结果
【输入输出样例】
输入:
shuliec.in
4
1 4 2 3
3
SUM 1 3
ADD 2 2 50
SUM 2 3
输出:
shuliec.out
7
56
思路：就是一道区间修改区间查询的线段树模板，以下代码
1 #include<cstdio> 2 #define LL long long 3 using namespace std; 4 int n,m,a[200010]; 5 struct node{LL val,mark;}tree[400010];//这里的mark即为延迟标记 6 char s[10]; 7 void buildtree(int root,int l,int r) 8 { 9 //构建时要先把所有点的延迟标记清零 10 tree[root].mark=0; 11 if(l==r) 12 {tree[root].val=a[l]; return;} 13 buildtree(root*2,l,(l+r)/2); 14 buildtree(root*2+1,(l+r)/2+1,r); 15 tree[root].val=tree[root*2].val+tree[root*2+1].val; 16 } 17 //这就是将延迟标记向下传递的操作 18 void pushdown(int root,int x) 19 { 20 if(tree[root].mark!=0) 21 { 22 //考虑到可能有些节点并不需要继续向下查询，应该是"+=" 23 tree[root*2].mark+=tree[root].mark; 24 tree[root*2+1].mark+=tree[root].mark; 25 //这可是个区间啊，每个节点的权值只增加标记值怎么能行 26 tree[root*2].val+=tree[root].mark*(x-(x>>1)); 27 tree[root*2+1].val+=tree[root].mark*(x>>1); 28 }tree[root].mark=0; 29 } 30 LL query(int root,int l,int r,int f,int t) 31 { 32 if(t<l || f>r) 33 return 0; 34 if(f<=l && t>=r) 35 return tree[root].val; 36 pushdown(root,r-l+1); 37 return query(root*2,l,(l+r)/2,f,t)+query(root*2+1,(l+r)/2+1,r,f,t); 38 } 39 //备受期待的区间修改，前三个元素仍然是同上 40 //f,t分别是修改区间的左右端点，v则是需要增加的值 41 void add(int root,int l,int r,int f,int t,int v) 42 { 43 int mid=(l+r)/2; 44 //修改区间和节点区间没有交集，自然不考虑 45 if(f>r || t<l) return; 46 //节点区间包含于修改区间，更改区间权值，记录延迟标记 47 if(f<=l && t>=r) 48 { 49 tree[root].mark+=v; 50 tree[root].val+=(LL)v*(r-l+1); 51 return; 52 } 53 //将延迟标记向下传递 54 pushdown(root,(r-l+1)); 55 //考虑和左子，右子是否有交集的情况 56 add(root*2,l,mid,f,t,v); 57 add(root*2+1,mid+1,r,f,t,v); 58 //重要的回溯 59 tree[root].val=tree[root*2].val+tree[root*2+1].val; 60 } 61 int main() 62 { 63 int x,y,w,i,j; 64 LL ans; 65 scanf("%d",&n); 66 for(i=1;i<=n;++i) 67 scanf("%d",&a[i]); 68 buildtree(1,1,n); 69 scanf("%d",&m); 70 for(i=1;i<=m;++i) 71 { 72 scanf("%s",s); 73 if(s[0]=='S') 74 { 75 scanf("%d%d",&x,&y); 76 ans=query(1,1,n,x,y); 77 printf("%lld ",ans); 78 } 79 if(s[0]=='A') 80 { 81 scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); 82 add(1,1,n,x,y,w); 83 } 84 } 85 }