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  • 二元函数求极值判别式AC-B^2

    二元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?
    还有就是当AC-B^2>0时,为什么A>0有极小值,A<0有极大值?

    这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了:f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ,这里h为余项

    f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)

    多看,其义自见.

    当H = AC-B^2 = 0时,必须借助别的方法或更高阶的偏导数来判别,依据是多元函数的Taylor公式

    设:二元函数 f(x,y)的稳定点为:(x0,y0),
    即:∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0;
    记::A=∂²f(x0,y0)/∂x²
    B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
    C=∂²f(x0,y0)/∂y²
    ∆=AC-B²
    (1)AC-B*B>0时有极值
    (2)AC-B*B<0时没有极值
    (3)AC-B*B=0时可能有极值,也有可能没有极值
    如果:∆>0
    (1) A>0,f(x0,y0) 为极小值;这是一个判断的方法

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