【刷题】BZOJ 4031 [HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

Solution

按照题目去建完边后就是一个生成树计数问题了

于是就上Matrix-Tree

这里简要介绍一下Matrix-Tree，想要详细了解的就自行百度吧

给定一个无向图G

它的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵，只有对角线Dii上有值，值为i的度数

它的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵，纯粹地存图

它的基尔霍夫矩阵C[G]=D[G]-A[G]

那么G的生成树个数就是C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。所谓n-1阶主子式，就是对于r(1<=r<=n)，将C[G]的第r行，第r列同时去掉后得到的新矩阵

证明就算了，复杂无比

这道题就套上定理就可以了

求行列式的值，可以用高斯消元法把矩阵先变成上三角矩阵，那么最后的值就是变化后的矩阵的对角线上的值的乘积，再注意正负号

在calc中res不断乘以-1的原因其实是行列式的性质

高斯消元求方程组的解只要求解，所以没有乘-1这一说，而求行列式的值就需要注意每一个操作是否会对行列式最后的结果产生影响

这里用到的是行列式的两个性质：

1）行列式交换两行（列），行列式变为相反数——这就是不断乘-1的原因

2）行列式第i行（不变）乘k加上（减去）第j行作为新的第j行，行列式不变——这就是肆无忌惮地消元的原因，什么都不用考虑

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int MAXN=10,Mod=1e9;
int n,m,dr[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}},id[MAXN][MAXN],cnt;
char G[MAXN][MAXN];
struct Matrix{
    int a[MAXN*MAXN][MAXN*MAXN];
    inline Matrix operator - (const Matrix &A) const {
        Matrix B;
        for(register int i=1;i<=cnt;++i)
            for(register int j=1;j<=cnt;++j)B.a[i][j]=a[i][j]-A.a[i][j];
        return B;
    };
};
Matrix D,A,C;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(c!='')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        for(register int j=1;j<=m;++j)
            if(G[i][j]=='.')id[i][j]=++cnt;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        for(register int j=1;j<=m;++j)
            if(G[i][j]=='.')
                for(register int k=0;k<4;++k)
                {
                    int dx=i+dr[k][0],dy=j+dr[k][1];
                    if(G[dx][dy]=='.')D.a[id[i][j]][id[i][j]]++,A.a[id[i][j]][id[dx][dy]]=1;
                }
}
inline ll calc()
{
    for(register int i=1;i<=cnt;++i)
        for(register int j=1;j<=cnt;++j)
            if(C.a[i][j]<0)C.a[i][j]+=Mod;
    ll res=1;
    cnt--;
    for(register int j=1;j<=cnt;++j)
    {
        for(register int i=j+1;i<=cnt;++i)
            while(C.a[i][j])
            {
                ll t=C.a[j][j]/C.a[i][j];
                for(register int k=j;k<=cnt;++k)
                {
                    C.a[j][k]=(C.a[j][k]-t*C.a[i][k]%Mod+Mod)%Mod;
                    std::swap(C.a[j][k],C.a[i][k]);
                }
                res*=-1;
            }
        (res*=C.a[j][j])%=Mod;
    }
    return (res+Mod)%Mod;
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(register int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",G[i]+1);
    init();
    C=D-A;
    write(calc(),'
');
    return 0;
}