【模考】2018.03.10 图

【问题描述】

一个图被认为是刚体，如果该图无法只改变其中一部分的形状，而使得余下的部分的形状保持不变。
例如上图中的 (a) (b) (c) 都是刚体。

为了简化问题，我们现在只考虑 n × m 的格点图。

上图不是刚体，但是可以通过在对角线加入支撑的方式使得其变为刚体。

我们的问题是，对于 m × n 的个点图，有多少种添加支撑的方案可以使其变为刚体？
注意本题在每个小矩形中，我们至多只允许添加一个方向的对角线。
例如，对于 2 × 3 的格点图，一共有 448 种方案。

【输入格式】

从文件 graph.in 中读入数据.
(T)
(n_1) (m_1)
(vdots)
(n_T) (m_T)

【输出格式】

输出到文件 graph.out 中.
输出共 T 个整数,表示方案数。

【样例输入】

4
1 2
3 2
7 9
10 10

【样例输出】

4
448
357533852
935300639

【子任务】

对于 20% 的数据 n ≤ 4, m ≤ 4
对于另 20% 的数据 n = 1 或 m = 1
对于另 20% 的数据 n ≤ 10, m ≤ 10
对于另 20% 的数据 n ≤ 30, m ≤ 30
对于 100% 的数据 n ≤ 100, m ≤ 100, T ≤ 5

【正解】

一开始我们会认为只要每行每列存在至少一个支架就能够支撑，但其实是不对的
我们把最开始的图看作是一团乱麻，不要看作是规则的。然后我们每加入一个支架，就是使一行的竖边和一列的横边垂直。我们最后需要的状态是所有竖边和横边垂直
在最开始的想法中，虽然每行每列都有垂直，但是有可能是错开的扭曲的垂直
回到思路上来，考虑建出一个二分图(G_{n,m})，答案就是使得二分图(G_{n,m})联通的方案数
再设计dp
(f[i][j])表示(G_{i,j})的联通方案数
转移方程：

[f[i][j]=3^{ij}-sum_{k=1}^isum_{l=0}^jC_{i-1}^{k-1}C_{j}^{l}f[k][l]3^{(i-k)(j-l)} ]

(3^{ij})是二分图所有情况的总数，再算出不合法情况，进行容斥
考虑枚举一号点所在联通块大小
(sum_{k=1}^i)是在枚举左边部分(i)个点包括一号点在内总共有(k)个点与一号点联通
(sum_{l=0}^j)则是在枚举右边
(C_{i-1}^{k-1}C_{j}^{l})是指左边要有(k)个点，那么要从二号点到(i)号点中选(k-1)个点出来，右边同理
(3^{(i-k)(j-l)})是因为我们保证了一号点所在的联通块不会再和其他点联通，所以剩下的点随便怎么连，总共有(3^{(i-k)(j-l)})方案数
这样转移，还要注意一些小细节，要预处理组合数，预处理3的幂

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int Mod=1e9+7,MAXN=100+10;
int T;
ll f[MAXN][MAXN],C[MAXN][MAXN],exp3[MAXN*MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline void init()
{
	exp3[0]=1;
	for(register int i=1;i<MAXN*MAXN;++i)exp3[i]=exp3[i-1]*3%Mod;
	C[0][0]=1;
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)
	{
		C[i][0]=1;
		for(register int j=1;j<MAXN;++j)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%Mod;
	}
	f[1][0]=f[0][1]=1;
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)
		for(register int j=1;j<MAXN;++j)
		{
			f[i][j]=exp3[i*j];
			ll res=0;
			for(register int k=1;k<=i;++k)
				for(register int l=0;l<=j;++l)
					if(k==i&&l==j)break;
					else(res+=exp3[(i-k)*(j-l)]*C[i-1][k-1]%Mod*C[j][l]%Mod*f[k][l]%Mod)%=Mod;
			f[i][j]=(f[i][j]-res+Mod)%Mod;
		}
}
int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	read(T);
	init();
	while(T--)
	{
		int n,m;
		read(n);read(m);
		write(f[n][m],'
');
	}
	return 0;
}