「学习笔记」数学（一）

写在前面：这篇文章写了一些基础数学知识，包括数论、数论函数、组合、概率、计算几何等。结论一般来说会有证明，并且结论都加粗显示了。在算法复杂时会有示范代码。

版块I：数论（Number Theory）

一、同余（Coresidual）

同余的简单性质大家都会不讲了，证一下除法原则：

除法原则：若(ac equiv bc pmod p)，则(a equiv bpmod {dfrac{p}{gcd(c, p)} })

证明：(ac-bcequiv 0 pmod p)

(c(a - b)equiv 0 pmod p)

(p mid c(a - b))

(dfrac{p}{gcd(c, p)} mid dfrac{c}{gcd(c, p)} (a - b))

因为(dfrac{p}{gcd(c, p)}) 与 (dfrac{c}{gcd(c, p)}) 互质（(gcd)的定义）

所以(dfrac{p}{gcd(c, p)} mid (a - b))

(a equiv bpmod { dfrac{p}{gcd(c, p)} })

二、辗转相除法（Euclidean algorithm）

我们这么写程序：(gcd(a, b) = gcd(b, a mod b))

等价于证明：(gcd(a, b) = gcd(b, a - b))

注意到公因数小于等于其最大公约数。

令(d=gcd(a, b), d'=gcd(b, a - b))

(d mid a, d mid b)，因此(d mid a - b)，所以(dleq d')

(d' mid b, d mid a - b)，因此(d mid a)，所以(d'leq d)

因此(d=d')，得证

三、扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）

方程 (ax+by=gcd(a, b)) 存在一组整数解 (x, y)。

证明：

若(bx + (a mod b)y = gcd(b, a mod b))有解，进行重组：

(bx + (a - lfloor frac{a}{b} floor imes b)y=gcd(a, b))

(bx + ay - lfloor frac{a}{b} floor imes b imes y=gcd(a, b))

(ay + b(x - lfloor frac{a}{b} floor imes y) =gcd(a, b))

可以构造出(ax+by=gcd(a, b))的解

因此可以一直递归，直到某个数为(0)，这时候显然有整数解，所以原方程也是有整数解的

推论：(a)在模(p)意义下存在逆元的条件是(gcd(a, p)=1)

四、欧拉函数（Euler Function）

(1) 到 (n) 中与 (n) 互质的数的个数（欧拉函数）(varphi(n)=nprod_{p_i}(1 - frac{1}{p_i}))

证明：

每个素因子的倍数与 (n) 不互质，应该减去，但是有些数是多个素因子的倍数，因此需要容斥

(varphi(n)=n - lfloor dfrac{n}{p_1} floor - lfloor dfrac{n}{p_2} floor - ... + lfloor dfrac{n}{p_1p_2} floor + ...)

考虑每个素因子要是选，分母乘以它，这一项变号；不选相当于乘以(1)。于是得到上述式子。

证明：与 (n) 互质的数之和为(frac{nvarphi(n)}{2})

若 (gcd(d, n)=1)，则 $gcd(n, n - d) = 1 $，即互质的数两两出现，且和为 (n)

可以证明 (d ot = n - d)，若相等则 (2d=n)，不互质

欧拉定理：若 ((a, m)=1,a^{varphi(m)}equiv 1pmod m)

证明：任取缩系 (r_1, r_2, ..., r_{varphi(m)})

((a, m)=1)，则(ar_1, ar_2, ..., ar_{varphi(m)})也是一个缩系

(r_1r_2...r_{varphi(m)}equiv ar_1ar_2...ar_{varphi(m)} pmod m)

每个(r)与(m)互质，存在逆元，两边同时约去，得证

特殊情形：(a^{p-1}equiv 1pmod p)

扩展欧拉定理：(a^bequiv a ^{min(b, bmod varphi(m)+varphi(m))} pmod m)

证明：待更

五、中国剩余定理及拓展（Chinese Remainder Theorem and Its Expansion）

求解线性同余方程组

[egin{cases} x equiv a_1 pmod {m_1} \ x equiv a_2 pmod {m_2} \ cdots \ x equiv a_n pmod {m_n} end{cases} ]

1. 若(m_1, m_2, cdots, m_n)两两互质

使用中国剩余定理crt构造。

令(M = prod m_i, k_i=frac{M}{m_i})，记(k_i^{-1})表示(k_i)在(mod m_i)意义下的逆元，

方程组的解为：(x=sum_{i = 1}^n a_i k_i k_i^{-1})

每个(a_i)的系数，当不是(mod m_i)的时候都会是(0)（整除），(mod m_i)的时候为(1)（逆元的定义），巧妙构造出解

2. 若(m_1, m_2, cdots, m_n)不一定两两互质

使用拓展中国剩余定理

考虑如何合并方程(x equiv a pmod b,xequiv cpmod d)

令(x=bt + a)

$bt + a equiv cpmod d $

(bt equiv c - a pmod d)

使用exgcd解出 (tequiv t_0pmod {dfrac{d}{gcd(b,d)}})

再带回去就能得到 (x)

于是我们可以通过(n-1)次合并解出上述同余方程组

若exgcd时出现无解就意味着同余方程组无解

六、离散对数：BSGS和exBSGS

离散对数：(a^xequiv b pmod p)

1. (gcd(a, p) = 1)时：BSGS算法

令(m = lceil sqrt p ceil) ，

假设(x)是解，则(x)一定可以表示为(x = mq + r,qin[0, m], r in[0, m - 1])（带余除法）

(a^{mq+r}equiv b pmod p)

(a^{mq}equiv ba^{-r} pmod p)

我们枚举(q)把左边存入hash表，再枚举右边的(r)，查询有没有对应的(q)

注意最好手写hash表，或者unordered_map

复杂度为(O(sqrt p log p))

实际中其实可以灵活调整(m)的大小优化复杂度

2. 若(gcd(a, p) ot = 1)时候，使用exBSGS算法。

令(d = gcd(a, p))，等式两边不断同时约去(d)，直到(d=1)

起初，(a^xequiv b pmod p)

约一次：(a^{x-1}dfrac{a}{d}equiv dfrac{b}{d} pmod {dfrac{p}{d}})

直到(a,p)互质以后：(a^{x-t}dfrac{a^t}{prod d}equiv dfrac{b}{prod d} pmod {dfrac{p}{prod d}})

把左边(dfrac{a^t}{prod d})移到右边（此时一定存在逆元），使用BSGS求解，然后答案加上 (t)。

注意约的时候要特判，(d) 不整除 (b) 无解。另外如果出现左边等于右边，答案就是(t)，这是用于加速的特判。

每次约分(p)至少减小一半（(dgeq 2)），所以这个过程只是带一个(log)而已

复杂度为(O(sqrt p log^2 p))

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

namespace Map {
	
const int mod = 76543;
const int N = 1e5 + 10;
int cnt, hd[mod], nxt[N], fir[N], sec[N];
void clr() {
	fill(hd, hd + mod, -1); cnt = 0;
}
void ins(int x, int y) {
	int k = x % mod;
	fir[cnt] = x; sec[cnt] = y; nxt[cnt] = hd[k]; hd[k] = cnt ++; 
}
int find(int x) {
	for(int i = hd[x % mod]; ~ i; i = nxt[i])
		if(fir[i] == x) return sec[i];
	return -1;
}

}

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &g) {
	if(!b) x = 1, y = 0, g = a;
	else exgcd(b, a % b, y, x, g), y -= a / b * x;
}

int qpow(int a, int b, int p) {
	int ans = 1;
	for(; b >= 1; b >>= 1, a = 1ll * a * a % p)
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
	return ans;
}

int inv(int a, int p) {
	int x, y, g; exgcd(a, p, x, y, g);
	return g == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

int logM(int a, int b, int p) { //a^x c = b (mod p), (a, p) = 1
	Map :: clr();
	int m = (int) ceil(sqrt(p + 0.5));
	int aM = qpow(a, m, p), t = 1;
	for(int i = 0; i <= m; i ++) {
		if(-1 == Map :: find(t)) Map :: ins(t, i);
		t = 1ll * t * aM % p;
	}
	int q = b, inv_a = inv(a, p), ans = -1;
	for(int i = 0; i < m; i ++) {
		if(~ (t = Map :: find(q))) {
			int r = t * m + i;
			if(ans == -1 || ans > r) ans = r;
		}
		q = 1ll * q * inv_a % p;
	}
	return ans;
}

int exlogM(int a, int b, int p) { //a^x = b (mod p)
	if(b == 1) return 0;
	int d = gcd(a, p), t = 0, l = 1;
	while(d > 1) {
		if(b % d) return -1;
		b /= d; p /= d; t ++;
		l = 1ll * l * (a / d) % p;
		if(l == b) return t;
		d = gcd(a, p);
	}
	b = 1ll * b * inv(l, p) % p;
	int q = logM(a, b, p);
	return ~ q ? q + t : -1;
}

int main() {
	int x, z, k;
	while(~ scanf("%d%d%d", &x, &z, &k) && x && z && k) {
		int res = exlogM(x % z, k, z);
		if(res == -1) puts("No Solution");
		else printf("%d
", res);
	}
	return 0;
}

七、二次剩余的Cipolla算法

1. 一些定义

二次剩余：若(x^2equiv a pmod p)有解，则称(a)是(p)的二次剩余。

感性理解就是(a)在模(p)意义下可开方。

定义勒让德符号：

[left( frac{a}{p} ight)= egin{cases} 1, & ext{a是p的二次剩余} cr -1, & ext{a不是p的二次剩余} cr 0, &p mid a end{cases} ]

注意：

这里仅讨论 (p) 是奇质数的情况，其他情况过于毒瘤，可以参考miskcoo : 二次剩余及计算方法学习

2. 欧拉判别法

[left( frac{a}{p} ight)=a^{frac{p-1}{2}} ]

证明：若 (pmid a)，显然成立

若 (a) 是 (p) 的二次剩余，则存在 (x^2equiv a pmod p)

((x^2)^{frac{p-1}{2}}equiv a^{frac{p-1}{2}})

根据费马小定理，(x^{p-1}equiv 1pmod p)

得到 (a^{frac{p-1}{2}}equiv 1 pmod p)

若 (a) 不是 (p) 的二次剩余，则不存在 (x,x^2equiv apmod p)

则对于每个 (xin[1, p))，都能找到对应的 (yin[1,p),y ot=x) 满足 (xy=a)

于是我们可以把 ([1, p)) 中的数两两配对，一共(frac{p-1}{2})对，每对乘积为 (a)

得到等式 ((p-1)!equiv a^{frac{p-1}{2}})

根据威尔逊定理，((p-1)!equiv -1 pmod p)

得到 (a^{frac{p-1}{2}}equiv -1 pmod p)

综上，得证

3. Cipolla 算法

使用该算法求：(x^2equiv npmod p)的一个解(x)

首先随机出来一个(a)，满足((a^2-n)^{frac{p-1}{2}}equiv -1 pmod p)

期望(2)次随机出来（(a^2)是(n)二次剩余的时候会再随机一次，即(a^4equiv n pmod p)，这样的(a)不超过(4)个）

然后为了强行开根，设(omega=sqrt{a^2-n})为虚数单位（类比(i=sqrt{-1})）

结论：(x=(a+omega)^{frac{p+1}{2}})

证明：

[x^2equiv (a+omega)^{p+1}equiv(a+omega)^p(a+omega)equiv(a^p+omega^p)(a+omega)equiv(a-omega)(a+omega)equiv a^2-omega^2equiv n ]

上面的证明用到了几个定理

• ((a+omega)^pequiv a^p+omega^p)：二项式定理展开，除了首尾项，都含有(p)因子
• (omega^pequivomega(omega^2)^{frac{p-1}{2}} equiv omega(a^2-n)^{frac{p-1}{2}} equiv-omega)

据说根据拉格朗日定理可得最后答案虚部为(0)，然而不会拉格朗日定理（

然后就做完了。还是放个代码吧（虽然是乱写的）。

namespace cipolla {

const int mo = 1e9 + 9;
int a, t;
struct Node {
	int x, y;
	Node operator * (const Node &b) const {
		return (Node) {
			(int) ((1ll * x * b.x % mo + 1ll * y * b.y % mo * t % mo) % mo),
			(int) ((1ll * x * b.y % mo + 1ll * y * b.x % mo) % mo)
		};
	}
};
int qpow(int a, int b) {
	int ans = 1;
	for(; b >= 1; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mo)
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mo;
	return ans;
}
Node nqpow(Node a, int b) {
	Node ans = (Node) {1, 0};
	for(; b >= 1; b >>= 1, a = a * a)
		if(b & 1) ans = ans * a;
	return ans;
}
int sqrt(int n) {
	a = 1; srand(time(0));
	while(qpow(((t = (1ll * a * a % mo - n) % mo + mo) % mo), (mo - 1) / 2) != mo - 1)
		a = 1ll * rand() * rand() % mo;
	return nqpow((Node) {a, 1}, (mo + 1) / 2).x;
}

}

八、以原根为基础的同余

1. 一些定义

阶：若 ((a, p) = 1)，满足 (1leq x < p,a^xequiv 1 pmod p) 的最小正整数 (x) 称为 (a) 在模 (p) 的阶，记为 ( ext{ord}_p(a))，也有学者记做 (delta_{p} (a))。

感性理解：阶就是最小几次方变成1。

根据欧拉定理，阶一定存在

原根：若 (g) 在模 (p) 的阶为 (varphi(p))，则称 (g) 为 (p) 的原根

感性理解：原根是一个替代品，因为它的次幂能遍历 (p) 的缩系（证明在后面）

指标：若 (0 leq x < varphi(p), g^xequiv apmod p)，称 (x) 为以 (g) 为底模 (p) 的一个指标

2. 性质

下面若无特殊说明，(p) 为模数，(x) 表示 ( ext{ord}_{p}(a))，(g) 表示 (p) 的一个原根。

性质1：(a^{u}equiv a^vpmod p)当且仅当(uequiv vpmod x)

证明：

• 充分性：显然

• 必要性：设(u>v)，记录差(l=u-v)，则(a^lequiv1pmod p)

  令(l=kx+r(0leq r<x))：(a^{kx+r}equiv 1pmod p)

  ((a^{x})^k a^requiv 1pmod p)

  (a^{r}equiv 1pmod p)

  根据(0leq r<x)和阶的定义，(r=0)，得(x mid (u - v))。

性质1的特殊情形：(a^uequiv 1)当前仅当(xmid u)

性质1的推论1：(a,a^2,...,a^{x})两两(mod p)不同余

性质1的推论2：(xmid varphi(p))

性质(2)：只有(2,4,t^n, 2t^n)有原根（(t)是奇质数）

证明：
由于这个证明不在高中数学联赛要求范围内，我们不需要会（雾）

性质3：(g^t (tin N))遍历(p)的缩系。

证明：(g^t)有 (varphi(p)) 种取值我们能根据定义得到。

由于 ((g,p)=1)，所以 ((g^t,p)=1)，这 (varphi(p)) 种取值恰是缩系。

性质4：若(p)有原根，则原根个数为(varphi(varphi(p)))

证明：找一个任意原根(g)，那么对于所有的原根(g')，

(g')可以表示成(g^kmod p)，其中(1leq kleq varphi(p))

根据上面的性质我们知道：({g,g^2,...,g^{varphi(p)}})为(p)的缩系，且(g^t)的循环的，以(varphi(p))为最小正周期。

同时(g')也是原根，则({g',g'^2,...,g'^{varphi(p)}})也为(p)的缩系

代入得到：({g^k,g^{2k},...,g^{varphi(p)k}})是(p)的缩系

即让({k, 2k, ..., varphi(p)k})两两(mod varphi(p))不同

也就是让({k, 2k, ..., varphi(p)k})取遍(varphi(p))的缩系

假设k是不满足条件的，即存在(ik=jkpmod {varphi(p)})

不妨设(i>j)，则(varphi(p)mid (i-j)k)

除去gcd以后：(frac{varphi(p)}{gcd(varphi(p),i-j)}|k)

注意到(i-jin[1,varphi(p)-1])

(frac{varphi(p)}{gcd(varphi(p),i-j)}) 取遍了 (varphi(p)) 的约数 (d(d>1))

因此(k)若不满足条件，则 (gcd(k,varphi(p))>1)

反之，(gcd=1) 时 (k) 一定满足条件

这样的 (k) 有(varphi(varphi(p)))个，对应原根也就有这么多个。

性质(5)：若 (g) 是原根，且 (gcd(varphi(p),x)=1)，则 (g^x) 是原根

证明：实际上就是指数上完全剩余系成一个互质的数不变。

3. 求解原根和阶

求阶：枚举 (varphi(p)) 的约数暴力检验

求最小原根：分布挺密集，暴力求

快速判断的方法？试除法！

把 (varphi(p)) 质因数分解得到质因数集合 ({p_1,p_2,...,p_k})（易知集合大小不超过 (log p)）

若 (g) 满足 (forall iin[1,k])，(g^{frac{varphi(p)}{p_i}} ot = 1)，则(g)是原根，否则不是。

正确性挺显然的，若 ( ext{ord}_p(g)<varphi(p))，这样能检验出来。

求所有原根：先求最小原根 (g)，然后 (g^t,gcd(t,varphi(p))=1) 即为所有原根。

4. K次剩余方法

用于求满足 (x^kequiv apmod p) 的解，(p) 是质数

求一个任意原根 (g)，则解 (x) 一定可以表示成 (g^tmod p(1leq t < p))。

(a) 也用原根表示：(a = g^smod p)，这个可以BSGS求出 (s)

然后 (x^kequiv apmod p) 就变成了 (g^{tk}equiv g^{s})

也就是 (tkequiv spmod {p-1})

然后就是 simple 的同余方程问题，随便求出 (t) 然后快速幂求 (x=g^t) 没了。

【还未实现过，留坑】

若要求k次剩余所有解？

【留坑】

zzq：二次剩余、三次剩余、K次剩余

九、常见算法：质数判定与大数因子

Miller Rabin：质数检测

若 (p) 是质数，则有：

• 费马小定理 (a^{p-1} equiv 1 pmod p)
• 二次探测原理：若 (a^2equiv 1 pmod p)，那么 (a equiv pm 1 pmod p)。

我们利用这个原理对待监测的质数进行初步检验。

随机选取一个 (a)，把 (p - 1) 分解成 (2^k imes t) 的形式，其中 (2 ot mid t)。

令变量 (x = a^t) 开始，进行 (k) 次平方，每次令 (x leftarrow x^2)，若 (x = 1)，查看上次的 (x) 是否是 (p - 1) 或 (1)，不是直接返回 false。平方完以后的 (x) 是 (a^{p - 1})，若 (x = 1) 返回 true，否则返回 false。

据说 (n) 次测试正确率 (1 - left(dfrac{1}{4} ight)^n) 。我们一般选取前 (10) 个质数作为上面的 (a)，这样据说在 long long 范围内是不会出错的。

Pollard-Rho 算法：

引理：若 (k) 个 ([0,n-1]) 的随机变量，有两个变量相等，(k) 的期望是 (mathcal O(sqrt n))。

先我们要实现一个函数，能快速求出大数的一个因子。先用Miller Rabin判掉素数。我们构造一个模 (n) 意义下随机函数 (f(x) = x^2 + c)，那么 (f(x),f(f(x)),...) 一定构成一个环。然后我们用两个 (a,b)，初始随机 (a) 令 (b = f(a))，然后每次 (a=f(a),b= f(f( b)))，即第一个人走一步，第二个人走两步，他们最终会在环上相遇。再次过程中求 $d=gcd(|a-b|,n) $，若 (d=n) 说明 (a=b)，退出函数进行下一轮分解；若 (d>1)，则 (d) 就是个 (n) 的因数，直接返回。这样期望轮数是多少？考虑 (n) 的最小素因子 (p (pleq sqrt n))，(xequiv ypmod p) 的时候 (d > 1)，根据引理我们需要 (mathcal O(sqrt p)) 的时间相撞，也就是总复杂度 (mathcal O(n^{frac{1}{4}} log n))，log 是 gcd 的复杂度。

如何消去 log？考虑取伐值 (c = 128)，我们把 (c) 轮的 (|a-b|) 乘起来 (mod n)，若 (c=1) 显然互质直接跳过去，若 (c ot = 1) 说明 (d > 1)，再重新跳一遍找到 (d)（有点类似分块），这样 log 就消失了。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned uint;

ll rnd() {
   static uint seed = 1999999;
   seed ^= seed << 14;
   seed ^= seed >> 3;
   return seed;
}

ll mul(ll a, ll b, ll p) {
   ll d = (ll) floor(a * (long double) b / p);
   ll res = (a * b - d * p) % p;
   if(res < 0) res += p;
   return res;
}

ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
   ll ans = 1;
   for(; b; b >>= 1, a = mul(a, a, p))
      if(b & 1) ans = mul(ans, a, p);
   return ans;
}

int base[10] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, S = 10;

bool check(ll a, ll x, int t, ll n) {
   ll tmp = qpow(a, x, n), last;
   while(t --) {
      last = mul(tmp, tmp, n);
      if(last == 1 && tmp != 1 && tmp != n - 1) return false;
      tmp = last;
   }
   return tmp == 1;
}
bool MR(ll n) {
   for(int i = 0; i < S; i ++)
      if(n % base[i] == 0) return n == base[i];
   ll t = 0, m = n - 1;
   while(!(m & 1)) m >>= 1, t ++;
   for(int i = 0; i < S; i ++)
      if(!check(base[i], m, t, n)) return false;
   return true;
}

#define f(x) ((mul(x, x, n) + c) % n)

ll gcd(ll a, ll b) {
   return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
ll PR(ll n) {
   ll c = rnd() & 1023;
   ll a = rnd() % n, b = f(a), tmp;
   for(;;) {
      ll prod = 1, s = a, t = b;
      for(int i = 0; i < 128; i ++) {
         prod = mul(prod, abs(s - t), n);
         s = f(s); t = f(f(t));
      }
      ll d = gcd(n, prod);
      if(d == 1) { a = s; b = t; continue ; }
      for(int i = 0; i < 128; i ++) {
         d = gcd(n, abs(a - b));
         if(d > 1) return d;
         a = f(a); b = f(f(b));
      }
   }
   return n;
}
ll calc(ll n) {
   if(MR(n)) return n;
   ll d = 0;
   while(n == (d = PR(n))) ;
   return max(calc(d), calc(n / d));
}

int main() {
   int T; scanf("%d", &T);
   while(T --) {
      ll x, ans;
      scanf("%lld", &x); ans = calc(x);
      if(ans == x) puts("Prime");
      else printf("%lld
", ans);
   }
   return 0;
}

版块II：数论函数

一、狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）

定义狄利克雷卷积：

[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}) ]

二、积性函数

若满足((a,b)=1)，(f(a)f(b)=f(ab))的数论函数(f)叫做积性函数

性质(1)：若(f, g)为积性，(f*g)也为积性

证明：(a,b)为任意互质正整数，((f*g)(a)(f*g)(b)=sum_{d|a} f(d)g(frac{a}{d})sum_{d'|b} f(d')g(frac{b}{d'}))

考虑到对于每一对(d,d')，都满足((d,d')=1)，且乘积(dd')取遍(ab)不同的约数，

根据(f(d)g(frac{a}{d})f(d')g(frac{b}{d'})=f(d)f(d')g(frac{b}{d'})g(frac{a}{d})=f(dd')g(frac{ab}{dd'}))

得((f*g)(a)(f*g)(b)=(f*g)(ab))

结论1：(varphi*1=id)

证明：

先令(f(n)=sum_{d|n}varphi(d))，证明(f)为积性函数

设(n, m)互质：

[f(n)f(m)=sum_{i|n}varphi(i)sum_{j|m}varphi(j)=sum_{i|n}sum_{j|m}varphi(i)varphi(j)=sum_{i|n}sum_{j|m}varphi(ij)=sum_{d|nm}varphi(d)=f(nm) ]

现在证明(f(n)=n)，只需证明(f(p^c)=p^c)。

[f(p^c)=sum_{d|p^c}varphi(d)=varphi(1)+varphi(p)+varphi(p^2)+dots+varphi(p^c)=1+p-1+p^2-p+dots p^c-p^{c-1}=p^c ]

得证。

三、线性筛

线性筛的核心思想是一个合数(x=prod_{i=1}^kp_i^{c_i})，在(y=p_i^{c_i-1}prod_{i=2}^kp_i^{c_i})被筛去

积性函数两种筛法：

• 考虑(f(p^c))到(f(p^{c+1}))
• 考虑找到(k|i,(k,p)=1)，(f(ip)=f(k)f(frac{ip}{k}))

四、莫比乌斯反演（Mobius Inversion）

第一种形式：（狄利克雷卷积的形式）

(f(n)=sum_{d|n}g(d)Leftrightarrow g(n) = sum_{d|n}f(d)mu(frac{n}{d}))

第二种形式：（更为常用）

(f(n)=sum_{n|d} g(d) Leftrightarrow g(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})f(d))

证明：

[f(n)=sum_{n|d}g(d)=sum_{n|d}sum_{d|u}mu(frac{u}{d})f(u)=\ sum_{n|u}f(u)sum_{n|d,d|u}mu(frac{u}{d})=sum_{n|u}f(u)sum_{frac{d}{n}|frac{u}{n}}mu(frac{frac{u}{n}}{frac{d}{n}}) ]

最后一项，只有(frac{u}{n}=1)时为(1)，其他情况为(0)，得证。

套路：

• 枚举最大公约数(d)
• 枚举两个数的乘积(T)
• 转成下取整乘卷积函数g的结构，回答可以(O(sqrt n))，预处理暴力(O(nlog n))或(O(n))线筛

五、杜教筛

求(S(n)=sum_{i=1}^n f(i))

若是(f)是积性函数，并且你能找到一个函数(g),满足(g(1) ot=0)，(g)和(f*g)（记作函数(h)）能快速求和，就能使用杜教筛

[sum_{i=1}^n h(i)=sum_{i=1}^n sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})=sum_{d=1}^n g(d)sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}f(i)=sum_{d=1}^n g(d) S(lfloor frac{n}{d} floor) ]

把关于(S(n))的一项拿出来，再通过小学数学变形得：

[S(n)=frac{sum_{i=1}^n h(i)-sum_{d=2}^ng(d)S(lfloor frac{n}{d} floor)}{g(1)} ]

这个直接记忆化求是(O(n^{frac{3}{4}}))，用定积分可以求得。如果预处理前(n^{frac{2}{3}})项，复杂度就是(O(n^{frac{2}{3}}))

版块III：组合（Combinatorial Mathematics）

一、二项式定理

[(x+y)^n=sum_{i=0}^n{n choose i}x^iy^{n-i} ]

证明用组合意义好证

二、容斥（Inclusion-Exclusion Principle）

两个常用基本式：

[|S_1cup S_2 cup S_3 ... cup S_n|=sum_{i = 1}^n|S_i|-sum_{1 leq i < j leq n} |S_i cap S_j| + ... ]

[|S_1cap S_2 cap S_3 ... cap S_n|=U -|overline{S_1}cupoverline{S_2} cup overline{S_3} ... cupoverline{S_n}| ]

版块IV：计算几何（Computing Geometry）

• 判断向量共线：(vec a cdot vec b =0)
• 判断点(P)是否在线段(AB)上：(vec {AP} imes vec{BP}=0,vec {AP}cdot vec{BP}<0)
• 判断线段严格相交：每条线段两个端点分别在另个线段两侧
• 判断线段不严格相交：先判严格相交，再判有没有一个端点在另一条线段上的情况
• 判断直线线段相交：用直线代表向量判断线段两个端点在其两边
• 求交点：用相似三角形相关知识。
• 判断多边形凹凸：每(3)个相邻点判断叉积是否都同符号（(0)忽略）
• 判断点在多边形内：叉积判断
• 求凸包：求出上下凸壳合起来
• 求点到线段距离：先点积判断夹角，然后直接求/叉积求距离
• 求线段交点：使用把直线用式p + kv表示，其中p为点，v为向量

Pick定理：对于顶点为格点的简单多边形，(A= i + frac{b}{2} - 1)，(A)为面积，(i)为内部整点数目，(b)为边上整点数目。

欧拉公式：(V - E + F = 2)

多边形的核：能看到多边形任意位置的区域（一般对凹多边形求核）。半平面交。

半平面交：S&I算法。

核心思想是极角排序（相同极角取限制更紧的向量）然后用类似求凸壳的做法，每次加入一个向量表示半平面，若队尾两向量交点不在该半平面范围内就弹队尾。然后再查看队头是否被影响。

最后再用队头限制队尾。若队元素<=2说明不存在半平面交。

线段平移

对于向量((x,y))有((y,-x),(-y,x))和它垂直，转化成单位向量，再乘以距离平移(d)，得到转移向量。然后线段端点加上转移向量。

版块V：概率期望（Probability and Expectation）

一、离散概率（Discrete Probability）

基本事件（Basic Event）：一个仅在样本空间中单个结果的事件，也称样本点

随机事件（Random Events）：由某些基本事件构成的集合，用(E)表示

样本空间（Sample Space）：随机事件(E)的所有基本结果组成的集合为(E)的样本空间，用(S)表示

概率的组合计数求法：如果(S)由有限个等概率基本事件组成，那么随机事件(E)的概率为(P(E)=frac{|E|}{|S|})

条件概率：(P(A | B)=frac{P(AB)}{P(B)})

中文表述即：在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，等于AB同时发生的概率除以B发生的概率。

贝叶斯公式：(P(A|B)=frac{P(B|A)P(A)}{P(B)})

全概率公式：(P(B)=sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i))

上面几个公式理性理解一下都挺对的，没啥好说。

二、期望

设(x)是离散型随机变量。

期望的定义：(E(x)=sum_{}V_iP_i)。意思就是每个可能的值乘以出现的概率再求和。

期望的线性性证明：(E(x) + E(y) = E(x + y))

通过定义可证。