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  • 【JZOJ4474】【luoguP4071】排列计数

    description

    求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件:
    (1)1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
    (2)若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
    满足条件的序列可能很多,序列数对 10^9+7 取模。


    analysis

    • 首先(n)个里有(m)个稳定但不确定顺序,所以有(C^{m}_{n})种方案

    • 剩下(n-m)个数一定不放在它们数值的位置上,那么就是(n-m)个数错排的方案数

    • (f[i])表示(i)个数错排的方案数,现在要再插入一个数(n),前面(n-1)个数已经错排

    • (n)肯定不能放到第(n)位,只能放其他(n-1)

    • 如果把(n)插到第某(k)位且(k)放到(n)位,那么剩下(n-2)个数仍错排

    • 如果把(n)插到第某(k)位且(k)放到(n)位,那么除了(n)还有(n-1)个数还要错排

    • 由于(k)(n-1)种可能,那么(f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]))

    • 如此便解决问题,答案为(C^{m}_{n}*f[n-m])


    code

    #pragma GCC optimize("O3")
    #pragma G++ optimize("O3")
    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #define MAX 1000000
    #define mod 1000000007
    #define ll long long
    #define reg register ll
    #define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
    #define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
    
    using namespace std;
    
    ll f[MAX+5],fac[MAX+5],inv[MAX+5];
    ll n,m,T;
    
    inline ll read()
    {
    	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    	return x*f;
    }
    inline ll pow(ll x,ll y)
    {
    	ll z=1;
    	while (y)
    	{
    		if (y%2)z=z*x%mod;
    		x=x*x,y>>=1;
    	}
    	return z;
    }
    inline ll C(ll m,ll n)
    {
    	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
    }
    int main()
    {
    	freopen("permutation.in","r",stdin);
    	freopen("permutation.out","w",stdout);
    	f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1,fac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
    	fo(i,1,MAX)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    	fo(i,2,MAX)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    	fo(i,2,MAX)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
    	fo(i,3,MAX)f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    	T=read();
    	while (T--)
    	{
    		n=read(),m=read();
    		printf("%lld
    ",C(m,n)*f[n-m]%mod);
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/horizonwd/p/11295294.html
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