description
在N行M列的棋盘上，放若干个炮可以是0个，使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。请问有多少种放置方法？中国象棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.
analysis
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(DP)，容易知道每行至多有两个炮，否则会互相打到
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设(f[i][j][k])表示到放到第(i)行，有(j)列放了一个炮，(k)列放了两个炮的方案数
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该行不放炮，则直接继承上一行的答案
[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]
]
- 一个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数(+1)，且有(m-k-(j-1))个没有炮的列可以放
[f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*[m-k-(j-1)]
]
- 一个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数(-1)，两个炮的列数(+1)，且有(j+1)个一个炮的列可以放
[f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)
]
- 一个炮放在一个炮的列上，一个炮放在没有炮的列上，两个炮的列数(+1)，且分别有(j)列、(m-(k-1)-j)列可以放
[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*[m-(k-1)-j]
]
- 两个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数(+2)，且有(C^{2}_{m-(j-2)-k})种方案
[f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C^{2}_{m-(j-2)-k}
]
- 两个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数(-2)，两个炮的列数(+2)，且有(C^{2}_{j+2})种方案
[f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C^{2}_{j+2}
]
- 如此转移即可，注意判断边界
code
#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 105
#define ha 9999973
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
ll f[MAXN][MAXN][MAXN];
ll c[MAXN][MAXN];
ll n,m,ans;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline ll C(ll n){return n*(n-1)/2;}
int main()
{
n=read(),m=read(),f[0][0][0]=1;
fo(i,1,n)
{
fo(j,0,m)
{
fo(k,0,m-j)
{
f[i][j][k]=f[i-1][j][k];//不填
if (k-1>=0)
(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%ha)%=ha;//一颗填一个炮的列
if (j-1>=0)
(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k))%=ha;//一颗填没有炮的列
if (k-1>=0)
(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j%ha*(m-j-(k-1)))%=ha;//一颗填一个炮的列,一颗填没有炮的列
if (j-2>=0)
(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-(j-2)-k))%=ha;//两颗填没有炮的列
if (k-2>=0)
(f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=ha;//两颗填一个炮的列
}
}
}
fo(i,0,m)fo(j,0,m-i)(ans+=f[n][i][j])%=ha;
printf("%lld
",ans);
return 0;
}