Query on the tree
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问题描述
度度熊最近沉迷在和树有关的游戏了，他一直认为树是最神奇的数据结构。一天他遇到这样一个问题：
有一棵树，树的每个点有点权，每次有三种操作：
1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。
2. Change x y 表示把x点的权值改为y。
3. Root x 表示把x变为根。
现在度度熊想请更聪明的你帮助解决这个问题。
输入
第一行为数据组数T
每组数据第一行为N ，表示树的节点数。
后面 行每行有两个数 ，表示 之间有一条边 。初始时树是以1号节点为根节点。
之后的一行为 个数表示这 个点的点权。
然后为整数Q为操作次数。
之后的Q行为描述中的三种操作。
输出
对于第k组输入数据，第一行输出Case #k接下来对于每个”Queryx”操作，输出以x为根的子数和。
样例输入
2
5
1 2
1 3
3 4
3 5
1 2 3 4 5
5
Query 1
Change 3 10
Query 1
Root 4
Query 3
8
1 2
1 3
3 4
4 5
5 6
5 7
4 8
1 2 3 4 5 6 7 8
5
Query 1
Query 3
Root 5
Query 3
Query
1样例输出
Case #1:
15
22
18
Case #2:
36
33
6
3
解题报告：
树上的查询一共有三种操作，如果只是考虑前两种操作Query和Change，则需要一种高效的数据结构来支持子树和的查询和更新。
采取类似于LCA在线算法的方式，先DFS得到树上顶点序列，通过顶点序列可以知道每颗子树的范围。利用树状数组的方式来记录每个顶点的权值的变更。那么Query和Change的时间复杂度都为O(lgn)
当引入第三种操作-变更根节点后，并不需要调整树的结构，而只是要在查询操作的时候做些处理。
如果Query x的x为当前root节点，则直接输出当前所有节点的权值和，可以用一个变量SumOfAllTree来记录整颗树所有节点的权值和，查询为O(1)的复杂度
如果x在原树上不为当前root节点的祖先，即lca(x,root)
!= x，那么直接输出x节点所在的子树和SubTree(x)。
否则可找出root到x这条路径上x的儿子节点y，那么在当前root的条件下x对应的子树的和为SumOfAllTree-SubTree(y)。
求lca和求y的时间复杂度都可以做到O(lgn)。因此加上预处理后整体的时间复杂度为O(nlgn
+ Qlgn)
解题代码：
#include "iostream"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "vector"
#define F first
#define S second
#define PB push_back
#define MP make_pair
using namespace std;
const int N = 10010;
const int D = 20;
vector<int>e[N];
int go[N][D],depth[N],l[N],r[N];
int time_stamp;
void dfs(int u,int p)
{
depth[u]=p==-1?0:depth[p]+1;
go[u][0]=p;
l[u]=++time_stamp;
for(int i=0;go[u][i]!=-1;i++){
go[u][i+1]=go[go[u][i]][i];
}
for(int i=0;i<e[u].size();i++){
int v=e[u][i];
if(v!=p){
dfs(v,u);
}
}
r[u]=time_stamp;
}
int jump(int u,int d)
{
for(int i=D-1;i>=0;i--){
if(d>=(1<<i)){
u=go[u][i];
d-=1<<i;
}
}
return u;
}
int lca(int u,int v)
{
if(depth[u]<depth[v]){
swap(u,v);
}
u=jump(u,depth[u]-depth[v]);
for(int i=D-1;i>=0;i--){
if(go[u][i]!=go[v][i]){
u=go[u][i];
v=go[v][i];
}
}
return u==v?u:go[u][0];
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
char com[20];
int n;
int val[N],sumroot[N],sumroad[N];
void init(int n)
{
time_stamp=0;
memset(sumroot,0,sizeof(sumroot));
memset(sumroad,0,sizeof(sumroad));
memset(go, -1, sizeof(go));
for(int i=1;i<=n;i++){
e[i].clear();
}
}
void update(int a[],int x,int v)
{
while(x<=n){
a[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int get(int a[],int x)
{
int sum=0;
while(x>0){
sum+=a[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
int getsum(int a[],int l,int r)
{
return get(a,r)-get(a,l-1);
}
int main()
{
int KK = 1;
int T,Q,x,y,root,allval;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
init(n);
root=1;
allval=0;
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
e[x].PB(y);
e[y].PB(x);
}
dfs(1,-1);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&val[i]);
update(sumroad,l[i],val[i]);
update(sumroad,r[i]+1,-val[i]);
update(sumroot,l[i],val[i]);
allval+=val[i];
}
printf("Case #%d:
", KK++);
scanf("%d",&Q);
while(Q--){
scanf("%s",com);
if(com[0]=='Q'){
scanf("%d",&x);
if(x==root){
printf("%d
",allval);
}else if(lca(x,root)!=x){
printf("%d
",getsum(sumroot,l[x],r[x]));
}else{
int tmp=jump(root,depth[root]-depth[x]-1);
printf("%d
",allval-getsum(sumroot,l[tmp],r[tmp]));
}
}else if(com[0]=='C'){
scanf("%d%d",&x,&y);
update(sumroad,l[x],y-val[x]);
update(sumroad,r[x]+1,val[x]-y);
update(sumroot,l[x],y-val[x]);
allval+=y-val[x];
val[x]=y;
}else{
scanf("%d",&root);
}
}
}
return 0;
}