问题描述
离散傅立叶变换在信号处理中扮演者重要的角色。利用傅立叶变换,可以实现信号在时域和频域之间的转换。
对于一个给定的长度为n=2m (m为整数) 的复数序列X0, X1, …, Xn-1,离散傅立叶变换将得到另一个长度为n的复数序列Y0, Y1, …, Yn-1。其中
Yi=X0+X1wi+ X2w2i+ X3w3i+…+ Xn-1w(n-1)i
其中w=e2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n),称为旋转因子,其中I为虚数单位,I2= –1。
给定输入序列X,请输出傅立叶变换后的输出序列。
由于所有的复数C都可以表示成C=a+Ib的形式,即由实部和虚部的和表示,所以C可以用一个二元组(a, b)来表示,用这种方法w可表示为(cos(2π/n), sin(2π/n))。复数的计算规则如下:
(a1, b1)+(a2, b2)=(a1+a2, b1+b2)
(a1, b1)(a2, b2)=(a1, b1)*(a2, b2)=(a1*a2-b1*b2, a1*b2+a2*b1)
对于本题,你可以按照上面的公式直接计算,也可以按下面的方法计算。使用上面的公式的复杂度为O(n2),可以得到一半的分数,而下面的方法的复杂度为O(n log n),可以得到全部的分数。如果要使用上面的公式直接计算,请跳过下面的算法描述部分。
对于一个给定的长度为n=2m (m为整数) 的复数序列X0, X1, …, Xn-1,离散傅立叶变换将得到另一个长度为n的复数序列Y0, Y1, …, Yn-1。其中
Yi=X0+X1wi+ X2w2i+ X3w3i+…+ Xn-1w(n-1)i
其中w=e2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n),称为旋转因子,其中I为虚数单位,I2= –1。
给定输入序列X,请输出傅立叶变换后的输出序列。
由于所有的复数C都可以表示成C=a+Ib的形式,即由实部和虚部的和表示,所以C可以用一个二元组(a, b)来表示,用这种方法w可表示为(cos(2π/n), sin(2π/n))。复数的计算规则如下:
(a1, b1)+(a2, b2)=(a1+a2, b1+b2)
(a1, b1)(a2, b2)=(a1, b1)*(a2, b2)=(a1*a2-b1*b2, a1*b2+a2*b1)
对于本题,你可以按照上面的公式直接计算,也可以按下面的方法计算。使用上面的公式的复杂度为O(n2),可以得到一半的分数,而下面的方法的复杂度为O(n log n),可以得到全部的分数。如果要使用上面的公式直接计算,请跳过下面的算法描述部分。
算法描述
注意到上式中w=e2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n),所以wn+k=wk,这个公式将在下面的计算用用到。
对上面的公式进行变形,得到:
Yi
=X0 + X1wi + X2w2i + X3w3i +…+ Xn-1w(n-1)i
=X0 + X2w2i + X4w4i +…+ Xn-2w(n-2)i + wi(X1 + X3w2i + X5w4i +…+ Xn-1w(n-2)i)
=(X0 + X2φi + X4φ2i +…+ Xn-2φ(n/2-1)i) + wi(X1 + X3φi + X5φ2i +…+ Xn-1φ(n/2-1)i)
其中φ=w2。利用这个公式可得
Yi+n/2=(X0 + X2φi+n/2 + X4φ2(i+n/2) +…+ Xn-2φ(n/2-1) (i+n/2)) + wi(X1 + X3φ(i+n/2) + X5φ2(i+n/2) +…+ Xn-1φ(n/2-1) (i+n/2))
其中φi+n/2=w2i+n=w2i=φi。
所以当i<n/2时,令pi=X0 + X2φi + X4φ2i +…+ Xn-2φ(n/2-1)i,qi= X1 + X3φi + X5φ2i +…+ Xn-1φ(n/2-1)i,则Yi=pi+wiqi,Yi+n/2= pi+wi+n/2qi。
利用上面的公式,我们可以得到一种快速计算旋转因子为w的傅立叶变换的方法如下(快速傅立叶变换):
算法Y=Fourier(X, n, w)
参数:X={Xi}为待变换的序列,n为序列的长度(2的整数次幂),w为旋转因子
结果:X的傅立叶变换Y={Yi}
1. 计算{X0, X2, X4, …, Xn-2}在旋转因子为φ=w2时的傅立叶变换序列{pi}
2. 计算{ X1, X3, X5, …, Xn-1}在旋转因子为φ=w2时的傅立叶变换序列{qi}
3. 对于0<=i<n,计算Yi=pi+wiqi。其中w0=(1, 0),wi=wi-1*w,你要设置一个临时变量进行累乘而不能每次重新计算wi。
使用这种方法,即可在O(n log n)的时间内计算傅立叶变换。
对上面的公式进行变形,得到:
Yi
=X0 + X1wi + X2w2i + X3w3i +…+ Xn-1w(n-1)i
=X0 + X2w2i + X4w4i +…+ Xn-2w(n-2)i + wi(X1 + X3w2i + X5w4i +…+ Xn-1w(n-2)i)
=(X0 + X2φi + X4φ2i +…+ Xn-2φ(n/2-1)i) + wi(X1 + X3φi + X5φ2i +…+ Xn-1φ(n/2-1)i)
其中φ=w2。利用这个公式可得
Yi+n/2=(X0 + X2φi+n/2 + X4φ2(i+n/2) +…+ Xn-2φ(n/2-1) (i+n/2)) + wi(X1 + X3φ(i+n/2) + X5φ2(i+n/2) +…+ Xn-1φ(n/2-1) (i+n/2))
其中φi+n/2=w2i+n=w2i=φi。
所以当i<n/2时,令pi=X0 + X2φi + X4φ2i +…+ Xn-2φ(n/2-1)i,qi= X1 + X3φi + X5φ2i +…+ Xn-1φ(n/2-1)i,则Yi=pi+wiqi,Yi+n/2= pi+wi+n/2qi。
利用上面的公式,我们可以得到一种快速计算旋转因子为w的傅立叶变换的方法如下(快速傅立叶变换):
算法Y=Fourier(X, n, w)
参数:X={Xi}为待变换的序列,n为序列的长度(2的整数次幂),w为旋转因子
结果:X的傅立叶变换Y={Yi}
1. 计算{X0, X2, X4, …, Xn-2}在旋转因子为φ=w2时的傅立叶变换序列{pi}
2. 计算{ X1, X3, X5, …, Xn-1}在旋转因子为φ=w2时的傅立叶变换序列{qi}
3. 对于0<=i<n,计算Yi=pi+wiqi。其中w0=(1, 0),wi=wi-1*w,你要设置一个临时变量进行累乘而不能每次重新计算wi。
使用这种方法,即可在O(n log n)的时间内计算傅立叶变换。
输入格式
输入的第一行包含一个整数n,表示待变换的序列的长度,n是2的整数次幂。n<=16384。
接下来n行,每行2个实数a, b表示序列中的一个元素为(a, b)。
接下来n行,每行2个实数a, b表示序列中的一个元素为(a, b)。
输出格式
输出n行,每行两个实数,表示经过变换后的序列。为了防止运算时的误差影响结果的输出,请将结果中的每一个实数除以n后保留两位小数。
样例输入
4
1.0 0.0
1.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
1.0 0.0
1.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
样例输出
0.50 0.00
0.25 0.25
0.00 0.00
0.25 -0.25
0.25 0.25
0.00 0.00
0.25 -0.25
【分析】
也是裸题。
1 /* 2 宋代苏轼 3 《临江仙·夜饮东坡醒复醉》 4 夜饮东坡醒复醉,归来仿佛三更。家童鼻息已雷鸣。敲门都不应,倚杖听江声。 5 长恨此身非我有,何时忘却营营。夜阑风静縠纹平。小舟从此逝,江海寄余生。 6 */ 7 #include <cstdio> 8 #include <cstring> 9 #include <algorithm> 10 #include <cmath> 11 #include <queue> 12 #include <vector> 13 #include <iostream> 14 #include <string> 15 #include <ctime> 16 #define LOCAL 17 const double Pi = acos(-1.0); 18 const int MAXN = 200000 + 10; 19 using namespace std; 20 typedef long long ll; 21 struct Num { 22 double a , b; 23 //构造函数 24 Num(double x = 0,double y = 0) {a = x; b = y;} 25 //复数的三种运算 26 Num operator + (const Num &c) {return Num(a + c.a, b + c.b);} 27 Num operator - (const Num &c) {return Num(a - c.a, b - c.b);} 28 Num operator * (const Num &c) {return Num(a * c.a - b * c.b, a * c.b + b * c.a);} 29 }x1[MAXN] , x2[MAXN]; 30 31 //注意loglen为log后的长度 32 void change(Num *t, int len, int loglen){ 33 //蝶形变换后的序列编号 34 for (int i = 0; i < len; i++){ 35 int x = i, k = 0; 36 for (int j = 0; j < loglen; j++, x >>= 1) k = (k << 1) | (x & 1); 37 if (k < i) swap(t[k], t[i]); 38 } 39 } 40 //基2-FFT 41 void FFT(Num *x, int len, int loglen){ 42 change(x, len, loglen); 43 int t = 1; 44 //t为长度 45 for (int i = 0; i < loglen; i++, (t <<= 1)){ 46 int l = 0, r = l + t; 47 while (l < len){ 48 //初始化 49 Num a, b, wo(cos(Pi / t), sin(Pi / t)), wn(1, 0); 50 for (int j = l; j < l + t; j++){ 51 a = x[j]; 52 b = x[j + t] * wn; 53 //蝶形计算 54 x[j] = a + b; 55 x[j + t] = a - b; 56 wn = wn * wo; 57 } 58 //注意是合并所以要走2t步 59 l = r + t; 60 r = l + t; 61 } 62 } 63 } 64 //离散傅里叶变换 65 void DFT(Num *x, int len, int loglen){ 66 int t = (1<<loglen); 67 for (int i = 0; i < loglen; i++){ 68 t >>= 1; 69 int l = 0, r = l + t; 70 while (l < len){ 71 Num a, b, wn(1, 0), wo(cos(Pi / t), -sin(Pi / t)); 72 for (int j = l; j < l + t; j++){ 73 a = x[j] + x[j + t]; 74 b = (x[j] - x[j + t]) * wn; 75 x[j] = a; 76 x[j + t] = b; 77 wn = wn * wo; 78 } 79 l = r + t; 80 r = l + t; 81 } 82 } 83 change(x, len, loglen); 84 for (int i= 0; i < len; i++) x[i].a /= len; 85 } 86 int solve(char *a, char *b){ 87 int len1, len2, len, loglen; 88 int t, over; 89 len1 = strlen(a) << 1; 90 len2 = strlen(b) << 1; 91 len = 1; 92 loglen = 0; 93 while (len < len1) len <<= 1, loglen++; 94 while (len < len2) len <<= 1, loglen++; 95 //处理len1 96 for (int i = 0; i < len; i++){ 97 if (a[i]) x1[i].a = a[i] - '0', x1[i].b = 0; 98 else x1[i].a = x1[i].b = 0; 99 } 100 for (int i = 0; i < len; i++){ 101 if (b[i]) x2[i].a = b[i] - '0', x2[i].b = 0; 102 else x2[i].a = x2[i].b = 0; 103 } 104 FFT(x1, len, loglen); 105 FFT(x2, len, loglen); 106 for (int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i]; 107 108 DFT(x1, len, loglen); 109 over = len = 0; 110 //转换成十进制的整数 111 for (int i = ((len1 + len2) / 2) - 2; i >= 0; i--){ 112 t = (int)((double)x1[i].a + (double)over + 0.5); 113 a[len++] = t % 10; 114 over = t / 10; 115 } 116 while (over){ 117 a[len++] = over % 10; 118 over /= 10; 119 } 120 return len; 121 } 122 //输出 123 void print(char *str, int len){ 124 for(len--; len>=0 && !str[len];len--); 125 if(len < 0) putchar('0'); 126 else for(;len>=0;len--) putchar(str[len]+'0'); 127 printf(" "); 128 } 129 char a[MAXN] , b[MAXN]; 130 131 int main() { 132 int n; 133 134 scanf("%d", &n); 135 for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", &x1[i].a, &x1[i].b); 136 int t = 0; 137 while ((1<<t) < n) t++; 138 FFT(x1, n, t); 139 for (int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf %.2lf ", x1[i].a / n, x1[i].b / n); 140 return 0; 141 }