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  • NOIP2012提高组 Day 2 Problem 2 借教室

    原题


    题目描述

    在大学期间,经常需要租借教室。大到院系举办活动,小到学习小组自习讨论,都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同,借教室人的身份不同,借教室的手续也不一样。

    面对海量租借教室的信息,我们自然希望编程解决这个问题。

    我们需要处理接下来n天的借教室信息,其中第i天学校有ri个教室可供租借。共有m份订单,每份订单用三个正整数描述,分别为dj,sj,tj,表示某租借者需要从第sj天到第tj天租借教室(包括第sj天和第tj天),每天需要租借dj个教室。

    我们假定,租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单,我们只需要每天提

    供dj个教室,而它们具体是哪些教室,每天是否是相同的教室则不用考虑。

    借教室的原则是先到先得,也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足,则需要停止教室的分配,通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第sj天到第tj天中有至少一天剩余的教室数量不足dj个。

    现在我们需要知道,是否会有订单无法完全满足。如果有,需要通知哪一个申请人修改订单。

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行包含两个正整数n,m,表示天数和订单的数量。

    第二行包含n个正整数,其中第i个数为ri,表示第i天可用于租借的教室数量。

    接下来有m行,每行包含三个正整数dj,sj,tj,表示租借的数量,租借开始、结束分别在

    第几天。

    每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从1开始的整数编号。

    输出格式:

    如果所有订单均可满足,则输出只有一行,包含一个整数 0。否则(订单无法完全满足)

    输出两行,第一行输出一个负整数-1,第二行输出需要修改订单的申请人编号。

    输入输出样例

    输入:
    4 3 
    2 5 4 3 
    2 1 3 
    3 2 4 
    4 2 4
    输出:
    -1 
    2
    数据范围

    对于10%的数据,有1≤ n,m≤ 10;

    对于30%的数据,有1≤ n,m≤1000;

    对于 70%的数据,有1 ≤ n,m ≤ 10^5;

    对于 100%的数据,有1 ≤ n,m ≤ 10^6,0 ≤ ri,dj≤ 10^9,1 ≤ sj≤ tj≤ n。

    思路

    看到数据范围,显然需要至少O(nlog2m)的解法。
    最朴素的做法是一个个订单地枚举、循环,从si到ti已用天数wi加上di,发现冲突(wi>ri)就输出。复杂度O(mn),无法接受。
    对于区间增加值,可以用线段树或者差分解决。考虑到单点查询的复杂度与修改复杂度,这里选择差分。
    对于检查前i个订单是否有冲突,可以将它们全部累加,最后查询是否有一天供不应求,如果有就说明需要修改订单。
    这题中很重要的一个点是先到先得,显然若前i个订单中有冲突,则需要修改订单的负责人肯定在1~i之间;否则如果有冲突,则需要修改订单的人一定在i+1~n之间。
    于是,二分的思想就浮出了水面,时间复杂度O(nlog2m)。
    代码
     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #define N 1000010
     4 int n,m,x[N],a[N],s[N],t[N],c[N];
     5 //ci表示第i天借教室的数目(差分、原始序列) 
     6 bool ok(int m) {//判断前m个订单会不会产生冲突 
     7     memset(c,0,sizeof(c));
     8     for(int i=1;i<=m;++i) {
     9         c[s[i]]+=a[i];
    10         c[t[i]+1]-=a[i];
    11     }//差分部分 
    12     for(int i=1;i<=n;++i) if((c[i]+=c[i-1])>x[i]) return 0;
    13     //根据差分构造原序列,判断有没有冲突 
    14     return 1;
    15 }
    16 int main() {
    17     scanf("%d%d",&n,&m);
    18     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);
    19     for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",a+i,s+i,t+i);
    20     int l=1,r=m,mid;//二分部分 
    21     while(l<r) {
    22         mid=(l+r)/2;
    23         if(ok(mid)) l=mid+1;//如果1~i可以满足,则需要修改订单的负责人(如果有)在i之后 
    24         else r=mid;//否则肯定有,在i或i前 
    25     }
    26     //也可以先判断所有的订单是否会产生冲突 
    27     if(r!=m) printf("-1\n%d",r);//有冲突 
    28     else puts("0");//所有订单均可满足 
    29     return 0;
    30 }

     对于先判断会不会产生冲突的步骤,main代码如下:

     1 int main() {
     2     scanf("%d%d",&n,&m);
     3     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);
     4     for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",a+i,s+i,t+i);
     5     if(ok(m)) {
     6         puts("0");
     7         return 0;
     8     }
     9     int l=1,r=m-1,mid;//二分部分 
    10     while(l<r) {
    11         mid=(l+r)/2;
    12         if(ok(mid)) l=mid+1;
    13         else r=mid;
    14     }
    15     printf("-1\n%d",r);
    16     return 0;
    17 }
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