「Luogu P1435」回文字串 解题报告

题面

主要大衣大意：

给定一个字符串，求至少加入多少个字符才能使字符串变成回文字符串

下面就是我一本正经的胡说八道题解

思路：

很显然，这应该是一道典型的最长公共子序列的题目

因此，主要思想就是DP

方程式也挺好推的

于是我们就来讲一下为什么这题能用最长公共子序列（LCS）求解

证明：

求的是什么？

想要使这个字符串加入最少的字符变成一个回文串，那么肯定就是要是字符串中不能回文的部分回文

说起来比较难理解，比如：Ab3bd最少添的字符就是A对应的一个A，最后d对应的一个d

我们可以发现，最少要添的字符就是不能匹配的字符数=原字符串长度len-最长回文串的长度

这就变成了求最长回文串的题目

怎么求？

又经验的人肯定就会用最长公共子序列去解，但是一些人可能要问为什么，那么我们这里就来证明一下

由于回文串是回文的（废话)，也就是说，把原来的字符串反转一遍，最长回文串的长度还是不变的

于是我们就变成了求两串的公共子序列的长度——其实思想就是回文串正着和反着的效果是一样的，也就是抓住这个特性，去求公共系序列的长度

转移方程（最好自己去推一下）：

if(a[i]==b[j])//目标状态是f[len][len]
	f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;//表示i，j两位置相等，那么就由i-1，j-1的状态（最优解）+1得到
else
	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);//否则去掉i或j，转移最优解

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int len;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%s",a+1);
    len=strlen(a+1);
    for(i=1;i<=len;i++)
        b[i]=a[len-i+1];//反转
    for(i=1;i<=len;i++)
        for(j=1;j<=len;j++)
            if(a[i]==b[j])
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
            else
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
    printf("%d",len-f[len][len]);//长度减去最长回文串长度
    return 0;
}

拓展知识：

最长上升子序列（LIS）

推荐题目（进阶，就是比较难的意思）：

【模板】最长公共子序列