K尾相等数

 

K尾相等数

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难度：1

 

描述

输入一个自然数K（K>1）,如果存在自然数M和N（M>N），使得K^M和K^N均大于等于1000，且他们的末尾三位数相等，则称M和N是一对“K尾相等数”。下面请编程求出M+N最小的K尾相等数。

 

输入

第一行包含一个正整数T，T<10000，表示有T组数据；
随后有N行，每行包括一个整数K（K<2*10^10);

输出

对于输入的每个整数K，输出对应的M+N的最小值；

样例输入

1
2

样例输出

120

 
测试数据：

25

125

1000

1234

111111

1000003

123454321

测试数据结果：

7

6

3

56

52

102

27  

分析：

1．上面的要点中，1，2，3，5,6都是辅助条件，关键是弄清楚第4点。末尾三位相等是什么意思？比如 123456 末尾三位是 ‘456’ 而 45678 末尾三位则是‘678’。显然（虽然我也不喜欢在书上看到这个字眼，但是这里确实是很显然……），这里指的是10进制数的末尾3位，如何取末尾3位的数字？很显然（ =.=! ）将这个数字对1000求模就可以了。

2．仔细思考后，我们可以注意到，任何数对1000求模只有1000种可能（0~999），所以我们将K^Power 中的Power从1（为什么不是0？因为K^0=1<1000，而我们不考虑小于1000的情况，题解第3点）到1001逐个求值，总有相等的两个数字。因为结果只有1000种可能，但是有1001次求值，哪怕前1000次所求结果都不一样，最后一次的值必然与前面1000种其中的一种相等（相关知识：抽屉原理¹）。

代码：

#include <iostream>
#include <memory>
#include<cstring>
 
using namespace std;

int Record[1000];      // 用以记录的一维数组
 
int KTail( int K )
{
     memset( Record, 0, sizeof(Record) );      
     int Product = 1;                          
     bool bTakeRecord = false;                 // 需要一个标记，用以判断是否>=1000
     if ( K>=1000 )
     {
         bTakeRecord = true;
         K=K%1000;                  
     }                               
 
     for ( int Power = 1; Power<=1001; ++ Power)    

     {
         Product *= K;               // Product = (K^Power-1)%1000 * K 
         if ( bTakeRecord || Product>=1000 )     // 必须符合题目的条件 K^Power>=1000
         {
              bTakeRecord = true;               // 考虑到有可能之前是false，再赋值
              Product = Product%1000;           
              
              if ( Record[Product]==0 )         

                   Record[Product] = Power;    

              else
                   return Power + Record[Product];   

         }
     }
 
     return -1;       // 这行其实可以不写，因为不可能到这里，但是为了不让编译器提示编译警告
                      // 信息，还是加上吧。
}
 
int main()
{
     int t,k;
  cin>>t;
     while(t--)  

     {
         cin>>k;
         cout<<KTail(k)<<endl;  // 输出结果
     }
 
     return 0;
}