最大乘积

将一个整数n分解成x个正整数(a1+a2+a3+...+ax=n)，使它们的乘积(a1*a2*a3*...*ax)最大。
答案可能很大，输出对m取模后的结果。

—思路一：动态规划（DP）

—可以很容的思考出来动态转移方程

—用dp[i]代表当n=i的时候的最大乘积，于是：

—DP[i]=max(DP[i-j]*DP[j])

—动态规划的方法虽然可以解决该类问题，但是当n的值非常大的时候，dp数组都很难开的下，故不管是时间复杂度还是空间复杂度都高得惊人！

—

—于是需要新的思路。

—思路二：

—按照我们数学直觉，应该不难想到，分出来的这些a1,a2,a3…应该要相等才能让他们的积最大。

—/*小学的时候大家应该学过同样的周长，要让面积最大，则围成正方形是最好的选择（除了圆）*/

——

既然a1,a2,a3…都相等，那么可以假定x=a[i]

—于是乘积f(x)=x^(n/x)（x为正整数）

—现在问题转化为当x为何值的时候让f(x)最大

—我们可以假定g(x)=ln(f(x))=(n/x)*lnx

—很明显，当x让g(x)取最大的时候，f(x)也得到了最大值。于是我们可以对g(x)求一次导数

—

—g’(x)=(n-n*lnx)/(x^2)=[n*(1-lnx)]/(x^2)

—故我们可以看到，当x=e（2.71828……）时g(x)取得极大值。但是因为x为正整数，所以只有分别比较x=2以及x=3两种情况下的f(x)谁更大

—既然现在已经知道把一个数分为几个数的和，且让他们的积最大，就是要把他们尽可能多的分为2或者3，问题就进一步简化了。

—我们只需要举几个例子便可以证明x到底取2还是x取3使得乘积最大。

—6=2+2+2=3+3

—2*2*2=8

—3*3=9

—因为f(x)是对所有的n而言的，故如果一个例子成立就代表所有情况都成立！

—至此，最大乘积的问题就快结束了。但是还有一个问题，虽然知道了尽可能让n多分出几个3出来，但是总会有余数吧，余数怎么处理呢？

—

—当考虑到当n=4的时候，如果分出3，就必然会得到一个1，显然不是最大的乘积（不是不符合刚刚的公式的推导，因为此时只有一个3，不能叫分成了几个相同的数）所以可以分情况考虑下

—在此，我们就不在做更多的证明了，乘积最大问题的一般处理如下：

—当n<=4的时候ans=n%m;

—当n>4且n%3==0的时候

—n全部分为3

—当n>4且n%3==1的时候

—把(n-4)的部分全部分为3，剩下的4直接乘上去

—当n>4且n%3==2的时候

—把(n-2)的部分全部分为3，剩下的2直接乘上去

—可以使用二分幂对m取余，把时间复杂度降为O(logn)的

 

 

#include<iostream>
using namespace std;
int solve(int n,int m)
{
    int i,s=1;
    if(n<=4)return     n%4;
    else
    {
        if(n%3==0)
        {
         for(i=1;i<=n/3;i++)
             s=s*3%m;
         return s;
        }
        else if(n%3==1)
        {
            for(i=1;i<=(n-4)/3;i++)
              s=s*3%m;
              return s*4%m;
        }
        else 
        {
            for(i=1;i<=(n-2)/3;i++)
              s=s*3%m;
              return s*2%m;
        }
    }

}
int main()
{
    int n,m;
    freopen("d:\\1.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n||m))
    {
        cout<<solve(n,m)<<endl;
    }
    
    return 0;
}