一些网络流知识

有向图：点无容量不用说，点有容量拆点。

无向图：

　　点无容量：正反边都有容量。

　　点有容量：拆点，一个代表出点，一个代表入点，入到出有点容量，出点连其他点入点。

以上是基本构图。

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最大匹配 = 最小点覆盖 = 所有定点数 - 最大独立集

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　||

   　　　　　　　　　 　　　　  　　　最小边覆盖

最小路径覆盖 = 原图点数 - 新图最大匹配（最小路径覆盖要拆点做）

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以下转自http://tieba.baidu.com/p/2430347466

n支球队打循环赛，每两个队赛一场，胜+2分，平+1分，负+0分，已知一些比赛的胜负，问球队1是否可能获胜？

• cfgbdnm: 对于每场比赛，看作一条容量为2的双向边，且每条边上的流量为2。

• cfgbdnm: 利用预流推进的思想：在每条边上处理一个流量为2的预流，对于已知结果的比赛把预流按得分的数值分配到节点的溢出值上，令节点一在剩余的比赛中全胜，其他的比赛任意分配预流并连边，创建一个没有源和汇的流网络。然后不断把溢出值大于点1得分的节点的流向外推，如果某节点的高度大于2*n则无解。

  cfgbdnm: 以上做法已被钱桥学长吐槽：你能保证写对吗？轻吐槽：学长，预留推进方法比增广路方法要容易实现的多，思维也直观得多……
• cfgbdnm: 加强版，求一号的最小得分：首先二分答案key，依然那么建图，但是将节点1的尚未确定的边也连上，然后把向外推的条件改为判断溢出值是否大于key。
• cfgbdnm: 利用网络流的建图方案：从源连到每个比赛val=2，比赛连到相应的两个点val=2或正无穷，每个点连到汇val=该点的分数限制。

  cfgbdnm: 在图上跑最大流，如果源的出边满流表示有解。

  cfgbdnm: PS：后面的做法点数是N^2的，真希望今年的NOI出一下这道题的加强版，把后面的做法卡掉，让我的做法能过…… 

 

一些OIer，每个OIer有若干属性｛武力、智力、魅力……｝（OIer们怒了：丫的，你当我们是QQ宠物企鹅吗！！）如果一个OIer的各属性都>=另一个OIer，则可将其收为小弟（小妹），如果两人的属性一样则先出手的人能收另一个，每个人能收K次小弟（小妹），求一个收服方案，使剩下最少的OIer不给别人做小弟（小妹）。

• cfgbdnm: 问题等价于求最多收多少次小弟（小妹）。
• cfgbdnm: 先做一个预处理处理出所有的i、j，其中i可以收服j，特别的，对于相同的i,j，把他们合为一个人，收服次数改为ki+kj-1。
• cfgbdnm: 从源点向每个人i连边val=ki，如果i能收j，则连边i->j' val=1，从每个人i向汇点连边val=1。
• cfgbdnm: 该图的最大流=最大的收服次数。

 

最大密度导出子图：
对于一般求sigma(V)-sigma(E)的问题（似乎应该叫最大权导出子图），直接转化为最大权闭合图问题求解即可。（PS：昨天明明想到正确的最大权闭合图的建图方案了，结果一时脑残以为那个方法是错的（就是从每个边向两边的点连有向边，但实际上只要边的权值都为正就是对的））。
最大密度导出子图求的是sigma(V)/sigma(E)=k：
二分k的值判断是否有sigma(V)>sigma(E)*k，将所有的点权*=k，建立最大权闭合图模型，如果该值>0，则存在。

平面图的最小割：
可用最短路的方法求割值。
以前曾经做过BZOJ狼抓兔子，NOI海拔，知道是有这么一个方法的。
狼抓兔子这道题是直接连边即可。
海拔那道题边的两边的值不同，但有一个比较简单的处理方法，如果原图方向是从源到汇，最短路模型里就是从s到t，反之亦然。

• cfgbdnm: 更一般的，最短路模型的处理方法是对于原图中每个域建立一个点，其中与源和汇相邻的域被分成两份，而边的方向只需统一向任意方向扭转即可。
• cfgbdnm: 更更一般的，只需求一个最短的回路SP,使得（SP套住源）^（SP套住汇）即可。
• cfgbdnm: 从源和汇引出两条不穿越任何点的射线Ls,Lt，定义一个DP系统｛S={status},T={transformations}｝，对每个域i有p(ID i,B s,B t)in S,对每条边e（隔开的域为i->j）有p(i,s,t)+e.val->p(j,s^e*Ls,t^e*Lt)。

• cfgbdnm: 做法：for =each<域 i>{format f(i,s,t)=s||t?INF:0;for =each<j> exist(i->j){tranform i->j}end =for;f(i,s,t)=INF;DP_system.update();update =min<ans>{f(i,s,t) exist s^t};end =for;

 

• 给一个矩阵，find =exist<多哈密尔顿回路> ：经过每个点恰一次；
• cfgbdnm: 把原图黑白染色，如果|{黑点}|!=|{白点}|，从源向每个黑点连边val=2，对每个黑点向相邻白点连边val=1，白点向汇连边val=2，如果满流则有解。 

给一个矩阵，每个店有权值>=0，要求在一些非0点上安排外星瘟神姚顺，代价为点的权值，使得全职为0的点与矩阵边界不连通。

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• cfgbdnm: set 全职=权值；//再次鄙视QQ拼音。
• cfgbdnm: 求最小代价。

• cfgbdnm: 把矩阵变成无向图，从源连向要求被隔开的点，把矩阵边上的点连向汇，点权变为点的容量，求最小割。

以上转自http://tieba.baidu.com/p/2430347466

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平面图求最大流转化成最小割。（海拔，狼捉兔子）（s与t都在最外面的区域中）

s与t在一个区域中，连接s和t，求s-t划分开的两个区域的最小割。

s和t不在一个区域中，s和t分别引射线，发现割开s和t的会 (过T的射线奇数次，过S的射线偶数次) || （过S的射线奇数次，过T的射线偶数次)。

因此每个点有两个域记录过s奇偶，过t奇偶，目标是由 每个点（过S偶过T偶 到 过S偶过T奇） || （过S偶过T偶 到 过S奇过T偶）

 

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 有个网格，有些障碍，判断是否存在多条哈密顿回路覆盖除去障碍的点。

黑白染色，黑与白个数不同一定无解。

然后 源 -2> 黑 -1> 白 -2> 汇，满流有解，否则无解。

因为回路上每个点连接两个异色。

 //网格图注意黑白染色。

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 下面上道题：

　　有n个奶酪，m只老鼠，每个奶酪有个质量w[i]，每个老鼠每个单位时间可以吃g[i];(w和g是整数）

　　一个奶酪每个时刻最多有一个老鼠吃，可以在任意时刻换老鼠吃。

　　问全吃完的最短时间（实数）。

二分答案，v是每个老鼠在时间内吃的总数。

按v从大到小排序分别是v1，v2......vm;

构图如下：

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