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  • 正态分布(高斯分布)、Q函数、误差函数、互补误差函数

    1.正态分布(高斯分布)

    若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $mu$ 、尺度参数为 $sigma$ 的概率分布,且其概率密度函数为

    $$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}\,sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2 {sigma} ^2}} $$

    则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作 $X hicksim N(mu , sigma ^2)$ 。

    当$mu = 0, sigma = 1$时,称为标准正态分布。 $X hicksim N(0 , 1)$ 

    $$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2 }} $$

    如下图是一般正态分布

     

    如下图是标准整体分布

    一般正态分布的分布函数$F(x)$

    $$F(x)=P(X leqslant x)= frac{1}{sqrt{2pi} sigma}int_{-infty}^{x}e^{- frac{(t-mu)^2}{2{sigma}^2}}dt $$

    标准正态分布的分布函数$Phi(x)$:

    $$Phi(x)=P(X leqslant x) = frac{1}{sqrt{2pi} }int_{-infty}^{x}e^{- frac{t^2}{2}}dt $$

    2.Q函数

     Q函数又称标准正态分布的右尾函数。

    $$Q(x)=int_x^inftyfrac{1}{sqrt{2pi}} e^{- frac{t^2}{2}}dt = 1-Phi(x) $$

     

    3.误差函数

    $$ erf(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_0^{x}e^{-t^2}dt $$

    4.互补误差函数

    $$ erfc(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_x^{infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x) $$

     5.它们之间的关系

     $$ Q(x) = 1-Phi(x) $$

     $$ Q(x) = frac{1}{2} erfc(x/ sqrt 2) $$

     $$ erfc(x) = 2Q(sqrt 2 x) $$

     $$ erf(x) = 1-2Q(sqrt 2 x) $$

     $$ erf(x) + erfc(x) = 1 $$

    注:

    由正态分布密度函数的总积分为1(即概率 P(X<∞) = 1)得:

    常记溪亭日暮,沉醉不知归路。兴尽晚回舟,误入藕花深处。争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭。

    昨夜雨疏风骤,浓睡不消残酒。试问卷帘人,却道海棠依旧。知否?知否?应是绿肥红瘦。
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/htj10/p/8621771.html
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