2019牛客暑期多校训练营（第九场）A：Power of Fibonacci（斐波拉契幂次和）

题意：求Σfi^m%p。 zoj上p是1e9+7，牛客是1e9；  对于这两个，分别有不同的做法。

前者利用公式，公式里面有sqrt(5)，我们只需要二次剩余求即可。     后者mod=1e9，5才mod下没有二次剩余，所以不能这么做了。可以分解mod，然后利用循环节搞。

 zoj：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100005;
const LL MOD = 1000000009;
LL fac[N],A[N],B[N];
void Init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i=1; i<N; i++)
        fac[i] = fac[i-1] * i % MOD;
    A[0] = B[0] = 1;
    for(int i=1; i<N; i++)
    {
        A[i] = A[i-1] * 691504013 % MOD;
        B[i] = B[i-1] * 308495997 % MOD;
    }
}
LL quick_mod(LL a,LL b,LL MOD)
{
    LL ans = 1;
    a %= MOD;
    while(b){
        if(b&1){
            ans = ans * a % MOD;
            b--;
        }
        b>>=1; a = a * a % MOD;
    }
    return ans;
}

LL Solve(LL n,LL k)
{
    LL ans = 0;
    for(int r=0; r<=k; r++)
    {
        LL t = A[k-r] * B[r] % MOD;
        LL x = fac[k];
        LL y = fac[k-r] * fac[r] % MOD;
        LL c = x * quick_mod(y,MOD-2,MOD) % MOD;
        LL tmp = t * (quick_mod(t,n,MOD) - 1) % MOD * quick_mod(t-1,MOD-2,MOD) % MOD;
        if(t == 1) tmp = n % MOD;
        tmp = tmp * c % MOD;
        if(r & 1) ans -= tmp;
        else      ans += tmp;
        ans %= MOD;
    }
    LL m = quick_mod(383008016,MOD-2,MOD);
    ans = ans * quick_mod(m,k,MOD) % MOD;
    ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    LL n,k;
    Init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        cin>>n>>k;
        cout<<Solve(n,k)<<endl;
    }
    return 0;
}

牛客：  你可以不熟悉斐波拉契的循环节具体怎么求，但是只要知道mod=p^a，fib[]%mod的循环节小于p^(a-1)* (2*p+2)。

而1e9计较特殊，1e9=2^9*5^9，这两部分对应的循环节都不是很大，所以我们可以分别求，然后中国剩余定理合并啊，就可以水过去了。

(但是我的代码怎么这么慢啊

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int Mod=1e9;
int md[2]={512,1953125};
int f[8000000],ans[2];
int qpow(int a,int x,int p)
{
    int res=1; while(x){
        if(x&1) res=1LL*res*a%p;
        x>>=1; a=1LL*a*a%p;
    } return res;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
}
int rev(int a,int b)
{
    int x,y; exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b; return x;
}
int main()
{
    int N,M;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    rep(k,0,1) {
        f[0]=0; f[1]=1; int j=2;
        for(;;j++){
            f[j]=(f[j-1]+f[j-2]);
            if(f[j]>=md[k]) f[j]-=md[k];
            if(f[j]==1&&f[j-1]==0) {
                j--; break;
            }
        }
        int P=N/j;
        for(int i=0;i<j;i++) {
            int t=qpow(f[i],M,md[k]);
            ans[k]=(ans[k]+1LL*t*(P+(i<=N%j)))%md[k];
        }
    }
    int res=(1LL*ans[0]*md[1]%Mod*rev(md[1],md[0])%Mod+1LL*ans[1]*md[0]%Mod*rev(md[0],md[1])%Mod)%Mod;
    printf("%d
",res);
    return 0;
}