2019徐州网络赛H ：function （min25筛）

题意：f(i)=i的幂次之和。 求(N+1-i)*f(i)之和。

思路：可以推论得对于一个素数p^k，其贡献是ans=(N+1)[N/(P^k)]+P^k(1+2+3...N/(P^k));

我们分两部分统计答案即可，在p<=sqrt(N)时，可以暴力（阶乘那样一直除）统计答案。 p>sqrt(N)时，我们可以利用min25的消息得到。

因为p>sqrt(N)，这个时候k=1，所以贡献为(N+1)*(N/p)+p*(1+2+...N/p)；我们把N/p相同的拉出来即可，而这个东西正好就是min25的基本操作。

N/p有根号级别个，我们把素数个数前缀和保存到h[]里，素数和的前缀和保存到g[]里，就不难得到区间素数个数，以及区间素数和。

wa点：写出来容易爆炸long long。

前缀和公式：x*(x+1)/2；由于x*(x+1)可能爆炸ll，所以我们得到x=x%Mod再进行计算，这个时候就不能/2了，需要*2的逆元。

ans：ans没必要每次维护到[0,Mod)这个范围内，我们最后一次性处理就好了，毕竟每次加减的都是[0,Mod)这个范围的数，最后结果一定再long long范围内。这样会

快一些。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=1000010;
const int Mod=998244353,inv2=(Mod+1)/2;
int qpow(int a,int x){
    int res=1; while(x){
        if(x&1) res=1LL*res*a%Mod; x>>=1;
        a=1LL*a*a%Mod;
    } return res;
}
struct min25 //很多部分需要long，不要搞错了
{
    ll p[maxn],sp1[maxn],N;
    ll g1[maxn],h[maxn];int Sqr,ind1[maxn],ind2[maxn],num,tot;
    ll w[maxn]; bool vis[maxn];
    int MOD(int x){ if(x>=Mod) x-=Mod;return x; }
    void prime() //得到素数，sp1，sp2
    {
        rep(i,2,Sqr){
            if(!vis[i]){
                p[++num]=i;
                sp1[num]=MOD(sp1[num-1]+i);
            }
            for(int j=1;j<=num&&p[j]*i<=Sqr;j++){
                vis[p[j]*i]=1;
                if(i%p[j]==0) break;
            }
        }
    }
    void getind()
    {
        for(ll i=1;i<=N;i++){
            ll now=N/i,j=N/now,t=now%Mod;
            w[++tot]=now;
            g1[tot]=MOD(t*(t+1)/2%Mod+Mod-1); //因为我们全部都不考虑1。
            h[tot]=t-1;
            if(g1[tot]<0) g1[tot]+=Mod;
            if(h[tot]<0) h[tot]+=Mod;
            if(now<=Sqr) ind1[now]=tot;
            else ind2[j]=tot;
            i=j;
        }
    }
    void getg()
    {
        rep(i,1,num){ //注意w里面的东西是递减的,所以可以滚动
            for(int j=1;j<=tot&&p[i]<=w[j]/p[i];j++){
                ll now=w[j]/p[i];
                int k=now<=Sqr?ind1[now]:ind2[N/now];
                g1[j]=MOD(g1[j]-1LL*p[i]*(g1[k]-sp1[i-1]+Mod)%Mod+Mod);
                h[j]=(h[j]-(h[k]-i+1+Mod)%Mod+Mod)%Mod;
            }
        }
    }
    ll get(ll x) { return x*(x+1)%Mod*inv2%Mod; }//x需要实现%Mod，不然爆ll，所以也不能用/2，而用逆元。
    void solve(ll n)
    {
        N=n; Sqr=sqrt(N);
        prime(); //筛根号部分素数。
        ll ans=0;
        rep(i,1,num){
            for(ll e=p[i];e<=N;e*=p[i]){
                ans+=(N+1)%Mod*(N/e)%Mod-e%Mod*get(N/e%Mod)%Mod;
            }
        }
        getind();
        getg();
        rep(i,1,Sqr-1){
            ans+=(N+1)%Mod*i*((h[i]-h[i+1]+Mod)%Mod)%Mod; //多少个素数满足N/p=i
            ans-=1LL*get(i)*((g1[i]-g1[i+1]+Mod)%Mod)%Mod; //素数之和
        }
        ans%=Mod; if(ans<0) ans+=Mod;
        printf("%lld
",ans%Mod);
    }
}T;
int main()
{
    ll N;
    scanf("%lld",&N);
    T.solve(N);
    return 0;
}

，很多地方容易爆long long。