【转】Lucas定理 & 逆元学习小结

 (From：离殇灬孤狼)

这个Lucas定理是解决组合数的时候用的，当然是比较大的组合数了。比如C（1000000,50000）% mod，这个mod肯定是要取的，要不算出来真的是天文数字了。

对于一个组合数C（n，k），它等于 n! / ( k! * ( n - k)! ) 我们要求一个mod。但是我们知道的同余定理是在 + - * 这三个运算中使用的，对于除法我们不能轻易的使用同余定理。如果我们能把除数（分母）转化为一个乘法就好了，这个时候我们就用到了逆元的知识：

这就开始说逆元了：

定义：对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

     

如果m是素数且GCD（a，mod）== 1，我们就直接可以用费马小定理求了。即求：a^(m-2)% mod。

用快速幂求即可。

如果还不明白逆元是个啥，我举个简单的例子来看看：

求：（24 / 3）% 5 我们可以直接观察得结果：3

但是这个只是个24，如果前面是一个很大很大的数的连乘longlong都存不下呢？我们肯定是一边乘一边求mod。在这里，我们把24对5求模，结果是4。这个4不能直接除以3再求模，一看肯定是错误的。这里我们要把这个4乘3的逆元再求模。根据刚刚说的，3的逆元为3^(5-2) = 27 （或者用扩展欧几里得exGCD（3,5,x,y）这样求出来的x就是3mod5的逆元）。然后按照刚刚说的，4 * 27 % 5 = 3 ，这就是结果了。

反正根据我的理解就是，由于除法不能使用同余定理，那么我们就把除以的这个数转化为乘法，然后用同余定理即可。

逆元如果知道了，我们继续说Lucas定理的使用。

先说一下定义：

Lucas 定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]   这里的每一个数组元素表示其p进制的每一位。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])。也就是说，把大组合数问题变成了一个个的小组合数。（A，B小于mod）

 

对于每一个小组合数，我们继续刚才的说明：n! / ( k! * ( n - k)! ) ，我们要求k！*（n - k）！的逆元。套用上面逆元的求法，再看一下下面的模板，应该就不难理解了。

 

Lucas定理用递归的方法，代码：

 

LL Lucas(LL n,LL k)     //Lucas定理递归   
{  
    if (k == 0)     //递归终止条件   
        return 1;  
    else  
        return C(n % mod , k % mod) * Lucas(n / mod , k / mod) % mod;  
}  

然后我们要求组合数，代码：

 

LL C(LL n , LL k)       //费马小定理求逆元   
{  
    if (k > n)  
        return 0;  
    else  
        return fac[n] * (quick(fac[k] * fac[n-k] % mod , mod - 2)) % mod;  
}  

这里用到了快速幂，代码：

LL quick_mod(LL n , LL m)       //求快速幂   
{  
    LL ans = 1;  
    n %= mod;  
    while (m)  
    {  
        if (m & 1)  
            ans = ans * n % mod;  
        n = n * n % mod;  
        m >>= 1;  
    }  
    return ans;  
}  

对于阶乘，我们可以先打一个表，运算就快很多：

void getfac()       //打一个阶乘表   
{  
    for (int i = 2 ; i <= 1000000 ; i++)  
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;  
} 

来一个大代码：（求大组合数对mod = 1000003求模）

#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))  
#define INF 0x3f3f3f3f  
#define LL long long  
LL mod = 1000003;  
LL fac[1000000+11] = {1,1};  
void getfac()       //打一个阶乘表   
{  
    for (int i = 2 ; i <= 1000000 ; i++)  
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;  
}  
LL quick_mod(LL n , LL m)       //求快速幂   
{  
    LL ans = 1;  
    n %= mod;  
    while (m)  
    {  
        if (m & 1)  
            ans = ans * n % mod;  
        n = n * n % mod;  
        m >>= 1;  
    }  
    return ans;  
}  
LL C(LL n , LL k)       //费马小定理求逆元   
{  
    if (k > n)  
        return 0;  
    else  
        return fac[n] * (quick_mod(fac[k] * fac[n-k] % mod , mod - 2)) % mod;  
}  
LL Lucas(LL n,LL k)     //Lucas定理递归   
{  
    if (k == 0)     //递归终止条件   
        return 1;  
    else  
        return C(n % mod , k % mod) * Lucas(n / mod , k / mod) % mod;  
}  
int main()  
{  
    getfac();  
    LL n,k;  
    int Case = 1;  
    int u;  
    scanf ("%d",&u);  
    while (u--)  
    {  
        scanf ("%lld %lld",&n,&k);  
        printf ("Case %d: %lld
",Case++,Lucas(n,k));  
    }  
    return 0;  
}  

http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216