【逆元（%%%）】

乘法逆元，一般是用来求

的值，p通常为质数

定义

若a*x≡1(mod b),且a与b互质，我们定义x是a的逆元，记为a^(-1)，所以也可以说x是a在mod b意义下的倒数

所以对于a/b(mod p)，我们可以先求出b在mod p下的逆元，然后乘a再mod p就是这个分数的值了

逆元求法

　　首先看到同余方程，这个就是典型的求一个数模p下的逆元，而对于逆元的求法，我们有多种操作：

扩展欧几里得

　　首先，这个算法的性质如下

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

　　在这道题中，我们可以把ax≡1(mod b)转化成ax+by=1，只不过y可能是负数，然而与扩欧公式还是有差别，但不难得出，gcd(a,b)=1,

　　推导公式如下

由最大公因数的定义，可知 a 是 gcd(a,b) 的倍数，且 b 是 gcd(a,b) 的倍数，
若 x,y 都是整数，就确定了 ax + by 是 gcd(a,b) 的倍数，
因为 m = ax + by所以 m 必须是 gcd(a,b) 的倍数，
那么 m mod gcd(a,b) = 0

..................................................

然后根据一系列推导就得出了具体公式：具体请见同余方程第一篇题解<<<<大佬。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x,y;
void exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long z=x;
    x=y;
    y=z-(a/b)*y;
}
int main()
{
    long long a,b;
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b);
    while(x<0)
        x+=b; 
    x%=b;
    cout<<x;
    return 0;
}

快速幂

　　这个做法运用到了费马小定理

若p为素数，a为正整数，且a、p互质。 则有a^(p-1)≡1(mod p)。

然后代入原式，神奇的事发生了

a*x≡1(mod p)
a*x=a^(p-1) (mod p)
x=a^(p-2) (mod p)

然后我们求a^(p-2)(mod p)就是它的逆元啦

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p;
int fpm(ll x,ll y)//快速幂
{
    x%=p;
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=(ans*x)%p;
        y>>=1;
        x=x*x%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>n>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%lld
",fpm(i,p-2));
    }
}

 线性算法

　　以上算法针对于求单个逆元，但是有一长串的时候，你就TLE了，所以，聪明的大佬们研发的线性算法出现了。

　　设x的逆元为x^(-1)

　　我们先有一个1的逆元为1

       设p=k*i+r,(1<r<i<p) 也就是 k 是 p / i的商，r是余数 。

　　

然后乘上i的逆元和r的逆元

然后公式就出来了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p;
ll inv[3000005];
int main()
{
    cin>>n>>p;
    inv[1]=1;
    printf("%lld
",inv[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%lld
",inv[i]);
    }
}

学会了求逆元后，我们就可以学学其他interesting的东西——中国剩余定理