并查集
简介
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受;即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。（转自百度百科）
主要操作
众所周知，每个学校都有些奇怪的组织，有些是学校的，还有些''地下党''（咳咳，懂得），然后每个组织又分为了几个小组........当每年开学的那一天。总有些新面孔会来到这些组织，但是显然暂时不会。，这就意味着他们不属于任何一个组织
初始化
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
几个月后，这些新同学陆陆续续的加入了组织，有一天，学校让所有的组织集合，这下好了，因为是新同学，所以他们只记得自己的上级，所以只能去找上级，好巧不巧，上级也只认识自己的上级（？？？？）最后一大堆人浩浩荡荡地找到了组织长，愉快地集合了起来
查找
int get(int x) { if(f[x]==x)return x;//找到根节点 return get(f[x]);//不然就继续向上找 }
然而这些人的智商也不算低，记住了自己的组织长，下次集合直接找自己的组织长就可以了，不用麻烦的走一趟了。
路径压缩
int get(int x) { if(f[x]==x)return x;//找到根节点 return f[x]=get(f[x]);//不然就继续向上找,然后记录 }
然后，学校嫌组织过多，要合并一些组织了，然后把XX部和OO部合并在了一起，但是一个部得有一个领头人啊，所以，我们决定让XX部的部长当了新的XO部的部长。这样OO部部长的上级就是XX部部长了（OO部部长：为什么不是我）
合并
void merge(int x,int y) { int tx=get(x); int ty=get(y); if(tx!=ty)//不在同一集合就合并（其实也可以不要判断，反正在同一集合合并了也不会变） fa[tx]=ty; return; }
但是合并的时候我们选老大并不是随便选的。你想想，我们选谁当老大，下次就要把另一个人的所有子节点更换父亲节点，所以我们当然应该选取节点数多的当老大，这里加一个判断优化一下
1 if(tx!=ty) 2 { 3 if(size[tx]<size[ty]) fa[tx]=ty,size[ty]+=size[tx]; 4 else fa[ty]=tx,size[tx]+=size[ty]; 5 }
实际应用
嗯，这就是一道模板题
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int n,m; 4 int fa[10001]; 5 int get(int x)//找根结点 6 { 7 if(fa[x]==x)return x; 8 else return fa[x]=get(fa[x]);//路径压缩 9 } 10 void merge(int x,int y)//合并 11 { 12 int tx=get(x),ty=get(y); 13 if(tx!=ty) 14 fa[tx]=ty; 15 return; 16 } 17 int main() 18 { 19 scanf("%d%d",&n,&m); 20 for(int i=1;i<=n;i++) 21 fa[i]=i;//初始化 22 while(m--) 23 { 24 int z,x,y; 25 scanf("%d%d%d",&z,&x,&y); 26 if(z==1) 27 merge(x,y); 28 else 29 { 30 if(get(x)==get(y))cout<<"Y"<<endl; 31 else cout<<"N"<<endl; 32 } 33 } 34 return 0; 35 }
带权并查集
嗯，和普通的并查集没什么区别
普通的并查集代表着集合与集合之间的关系，但是带权并查集还维护了点与点之间的关系（毕竟带权嘛）。但是上例题前，我们先来康康怎么来带权并查集的路径压缩。
查找
首先，这里有一个未压缩的并查集，假设查找E的根结点，我们需要E到D的距离加上D到A的距离，但是D到A的距离，又需要D到B的距离加上B到A的距离.....
sum表示这个点到根结点的权值
1 int get(int x) 2 { 3 if(root[x]==x)return x; 4 int fa=get(root[x]); 5 sum[x]+=sum[root[x]]; 6 return root[x]=fa; 7 }
注意第四行，一定要写在压缩权值的前面，以图为例，如果写在后面，那么E到A的距离会变成ED加上DB，就是E到B的距离了，然而这不是我们想要的结果，所以先找到根，然后从根结点慢慢回来，路上再更新权值，这样才是有效的。而不是从某个结点向根结点更新。
合并
首先你有两个关系
然后题目又给了你x到y的权值，现在有了这一条红线你就要合并这两个并查集了
我们想把tx并到ty去，但是就必须得知道tx到ty的权值
我们不难知道，x到ty的两条线路的权值都得相同，所以只需要用v2+s-v1即可
root[tx]=ty;
sum[tx]=s+sum[y]-sum[x];
嗯，看看这个题，大概就是有一串你不知道的数，每次给你一个区间的和，看是否与前面已知的重复。例如已知[2，9]=10，[2，5]=8，又给你[6，9]=3，那么显然不对，因为我们从前面可知[3，9]应该等于2（自己算的出来吧）。
但是还有一个注意的地方，我们用sum数组代表一个点到根结点的所有权值，但是初始化的时候例如sum[1]=0（此时1本身是根结点），这个代表的是[1,1]等于0，也就是a[1]到a[1]等于0.但是这样的话就表示你已经确切的知道了这个值，然而我们不知道这个值，所以不妨把闭区间的某一段变成开区间，例如[1,1]改成(0,1]，这样sum[1]就代表(1,1]，也不会冲突了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int n,m,ans; 4 int root[200005],sum[200005]; 5 int get(int x)//查找 6 { 7 if(root[x]==x)return x; 8 int fa=get(root[x]); 9 sum[x]+=sum[root[x]]; 10 return root[x]=fa; 11 } 12 int main() 13 { 14 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 15 { 16 ans=0; 17 for(int i=0;i<=n;i++)//初始化，一定要从0开始 18 { 19 root[i]=i; 20 sum[i]=0; 21 } 22 while(m--) 23 { 24 int x,y,s; 25 scanf("%d%d%d",&x,&y,&s); 26 x--; 27 int tx=get(x); 28 int ty=get(y); 29 if(tx==ty)//如果是同一个并查集，就看是否合法即可 30 { 31 if(sum[x]-sum[y]!=s) 32 ans++; 33 } 34 else//否则合并一下 35 { 36 root[tx]=ty; 37 sum[tx]=s+sum[y]-sum[x]; 38 } 39 } 40 cout<<ans; 41 } 42 return 0; 43 }
种类并查集
种类并查集，就像他的名字一样，有几个种类，就有几个区间，对应的就要开几倍数组。所谓区间，就像下面的图一样：
我们现在假设有两个种类，然后每一个数都有可能是x种类或者y种类，随之对应的，如果一个数m是x种类，那么它就是m，否则它是m+n
.再来看看例题，它有三个种类，所以我们要开三倍数组，然后首先每个数的根结点都是自己，我们现有三个种类：A,B,C，然后得到了a吃b，a有三种情况，当a为A种类时，b就为B种类，当a为B种类时，b就为C种类.......然后三个并查集分别维护，一旦发生冲突，就ans++即可
这里呢，肯定有人问为什么一定要开多个并查集，用一个他不香嘛？
这里举一个例子
我们知道x吃y，并查集就是x和y+n合并，但是当下一个y吃z，你不知道之前的y是什么种类，你不可能合并y和z+n，所以这里就比较麻烦，为了简便，我们把三种全部列出来就好了，如果不想全部列出来，就一个的，也就是下一个方法，带权的
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int root[500005]; 4 int n,m,ans; 5 int get(int x)//查找 6 { 7 if(root[x]==x)return x; 8 return root[x]=get(root[x]); 9 } 10 void merge(int x,int y)//合并 11 { 12 int tx=get(x); 13 int ty=get(y); 14 root[tx]=ty; 15 return; 16 } 17 int main() 18 { 19 scanf("%d%d",&n,&m); 20 for(int i=1;i<=3*n;i++)//初始化，三倍数组 21 root[i]=i; 22 while(m--) 23 { 24 int x,y,z; 25 scanf("%d%d%d",&z,&x,&y); 26 if(x>n||y>n||z==2&&x==y)ans++;//不合法 27 else if(z==1)//同一种类 28 { 29 if(get(x+n)==get(y)||get(x+2*n)==get(y))//如果他们已经有了关系并且不是同一种类，ans++ 30 { 31 ans++; 32 continue; 33 } 34 merge(x,y);//都是A种 35 merge(x+n,y+n);//都是B种 36 merge(x+2*n,y+2*n);//都是C种 37 } 38 else//x吃y 39 { 40 if(get(x)==get(y)||get(x+n)==get(y))//如果他们有了关系并且是同种类或者x被y吃，ans++ 41 { 42 ans++; 43 continue; 44 } 45 merge(x,y+n);//x是A种，吃为B种的y 46 merge(x+n,y+2*n);//x是B种，吃为C种的y 47 merge(x+2*n,y);//x是C种，吃为A种的y 48 } 49 } 50 cout<<ans; 51 }
然后这道题也可以用权值并查集来做，我们假设同根结点比，0是同类，1被根结点吃，2吃根结点，然后初始化是每个点都是自己的同类，和权值并查集的合并一样.但是因为这里的关系只有三种，所以当我们维护权值的时候有一个取模三的操作。如图，tx与ty的关系就是(1+0+3-2)%3=2.(然而我好像没有这样写)
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int n,m,ans; 4 struct node{ 5 int root; 6 int val;//0同类，1被吃，2吃根 7 }a[50005]; 8 int get(int x) 9 { 10 if(a[x].root==x)return x; 11 int y=a[x].root,z=get(y); 12 a[x].val=(a[x].val+a[y].val)%3; 13 return a[x].root=z; 14 } 15 int merge(int z,int x,int y) 16 { 17 int tx=get(x),ty=get(y); 18 if(tx==ty)//在同一集合 19 { 20 if((a[y].val+(3-a[x].val))%3!=z-1)//判断是否冲突 21 return 1; 22 } 23 else 24 { 25 a[ty].root=tx; 26 a[ty].val=((z-1)+(3-a[y].val)+a[x].val)%3;//算关系 27 } 28 return 0; 29 } 30 int main() 31 { 32 scanf("%d%d",&n,&m); 33 for(int i=1;i<=n;i++) 34 { 35 a[i].root=i; 36 a[i].val=0; 37 } 38 while(m--) 39 { 40 int x,y,z; 41 scanf("%d%d%d",&z,&x,&y); 42 if(x>n||y>n)ans++; 43 else if(z==2&&x==y)ans++; 44 else ans+=merge(z,x,y);//合并 45 } 46 cout<<ans; 47 }
其实种类并查集就是权值并查集一个特殊的存在，总而言之都是并查集就对了（滑稽）