[USACO07NOV]电话线Telephone Wire

[USACO07NOV]电话线Telephone Wire

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题目描述

电信公司要更换某个城市的网线。新网线架设在原有的 N(2 <= N <= 100,000)根电线杆上， 第

i 根电线杆的高度为 height_i 米(1 <= height_i <= 100)。 网线总是从一根电线杆的顶端被引到

相邻的那根的顶端，如果这两根电线杆的高度不同，那么电信公司就必须为此支付 C*电线

杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。电线杆不能移动， 只能在相邻电线杆间按原有的顺序架设

网线。加高某些电线杆能减少架设网线的总花费，但需要支付一定的费用，一根电线杆加高

X 米的费用是 X^2。 请你计算一下，如何合理地进行这两种工作，使网线改造工程的最小费

用。

输入

• Line 1: Two space-separated integers: N and C

• Lines 2..N+1: Line i+1 contains a single integer: heighti

输出

• Line 1: The minimum total amount of money that it will cost Farmer John to attach the new telephone wire.

样例输入

5 2

2

3

5

1

4

样例输出

15

题解：

f[i][j]表示第i个电线杆高度为j时所需要的最少的费用。

然后很快就可以得出暴力代码，每次枚举上一个电线杆的高度就可以了。

先付上暴力代码：（TLE到爆表）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
using namespace std;
long long n,m;
long long a[100001],f[100001][101],mmax;
int main()
{
    long long i,j,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        mmax=max(mmax,a[i]);
    }
    for(i=a[1];i<=mmax;i++)
    {
        int s=i-a[1];
        f[1][i]=s*s;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=a[i-1];j<=mmax;j++)
        {
            for(k=a[i];k<=mmax;k++)
            {
                int s=k-a[i];
                f[i][k]=min(f[i][k],s*s+f[i-1][j]+m*abs(j-k));
            }
        }
    }
    long long ans=2000000000000000000;
    for(i=a[n];i<=mmax;i++)
    ans=min(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

显然是需要优化的，仔细想一想就可以看出，每次实际上只有两种情况：

1.i-1的高度比i低。

2.i-1的高度比i高。

第一种情况下f[i][j]的结果为f[i-1][min]+abs(j-min)*k+(j-a[i])^2显然是有最小值的，所以只要记录min就可以直接算出f[i][j]的值。

第二种情况下f[i][j]的结果为f[i-1][min]+abs(j-min)*k+(j-a[i])^2，但由于随着j的增加每次min的值都有可能会改变，所以需要用到一个单调队列来记录最小值。

以下为AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
using namespace std;
long long n,m;
long long a[100001],f[100001][101],mmax;
int main()
{
    long long i,j,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    memset(f,127,sizeof(f));
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        mmax=max(mmax,a[i]);
    }
    for(i=a[1]; i<=mmax; i++)
    {
        int s=i-a[1];
        f[1][i]=s*s;
    }
    for(i=2; i<=n; i++)
    {
        int p[101],head=1,tail=0,mmin=0;
        for(j=a[i-1];j<a[i];j++)
        {
            if(f[i-1][j]+abs(a[i]-j)*m<f[i-1][mmin]+abs(a[i]-mmin)*m||mmin==0)
            mmin=j;
        }
        int ssss=max(a[i],a[i-1]);
        p[++tail]=ssss;
        for(j=ssss+1;j<=mmax;j++)
        {
            while(f[i-1][j]+abs(j-a[i])*m<f[i-1][p[tail]]+abs(p[tail]-a[i])*m&&head<=tail)tail--;
            p[++tail]=j;
        }
        for(j=a[i];j<=mmax;j++)
        {
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][mmin]+abs(j-mmin)*m+(j-a[i])*(j-a[i]));
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][p[head]]+abs(j-p[head])*m+(j-a[i])*(j-a[i]));
            if(f[i-1][mmin]-abs(j-mmin)*m>f[i-1][j])mmin=j;
            if(p[head]==j)head++;
        }
    }
    long long ans=1e18;
    for(i=a[n]; i<=mmax; i++)
    ans=min(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}