[bzoj 2818]GCD

Gcd

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

题解：
根据题意，我们要求求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对。

显然我们不可能将1到N的所有数对都枚举一遍，现在考虑枚举所有质数。

因为gcd(a,b)==p(p为质数),所以gcd(a/p,b/p)==1;

那么我们只要枚举所有小于N的质数，然后找⌊a/p⌋和⌊b/p⌋互质的对数。

显然只要先预处理出欧拉函数，然后用一层循环枚举1~⌊a/p⌋统计一下和就可以了。

注意一下几点：

1.每次统计都要乘上2，因为反过来也算一个数对。比如样例中2,4和4,2是不同的数对。

2.每次统计完之后ans-- 因为每次统计都乘2必然会有一个包含两个相同数的数对被多计算一次，比如样例中2,2和3,3都被计算了两次，所以要被减掉。

3.至于怎么筛质数，欧拉函数，以及高端大气上档次的莫比乌斯函数，实际上可以同时做到。

void find_prime(int listsize)
{
    int i,j;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=false;
    phi[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=listsize;i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            prime[++primesize]=i;
            phi[i]=i-1;
            mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else 
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    return;
}

然后附上AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long lol;
bool isprime[10000001];
int prime[5000001],primesize,phi[10000001],n;
lol ans;
void find_prime(int listsize)
{
    int i,j;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=false;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=listsize;i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            prime[++primesize]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else 
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    find_prime(n);
    for(i=1;i<=primesize;i++)
    {
        int to=n/prime[i];
        for(j=1;j<=to;j++)
        ans+=phi[j]*2;
        ans--;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}