归并排序和快速排序【二分法】【资料来自网络】

下面资料来源：http://blog.csdn.net/chenhuajie123/article/details/9296359

归并排序的定义

归并排序算法采用的是分治算法,即把两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表,即把待排序的序列分成若干个子序列,每个子序列都是有序的,然后把有序子序列合并成整体有序序列,这个过程也称为2-路归并.注意:归并排序的一种稳定排序,即相等元素的顺序不会改变.

归并排序的原理

常见的排序主要有两种,一种是先把待排序的序列一次分割,使子序列的长度减小至1,然后在合并,另外一种是把待排序两两分组排序然后在合并,具体过程用图来解释:

(1)  先分割再合并

待排序序列(14,12,15,13,11,16)

(2)  分组合并

待排序序列(25,57,48,37,12,92,86)

(图片显示不了，无语，有空画一个。)

归并排序实现的示例代码:

#include<stdio.h>

//将有二个有序子数组a[begin...mid]和a[mid+1...end]合并。
void MergeArray(int a[],int begin,int mid,int end,int temp[])
{
    int i=begin,j=mid+1;
    int m=mid,n=end;
    int k=0;

    while(i<=m && j<=n)
    {
        if(a[i]<=a[j])
            temp[k++]=a[i++];
        else
            temp[k++]=a[j++];
    }
    while(i<=m)
        temp[k++]=a[i++];
    while(j<=n)
        temp[k++]=a[j++];
    
    //把temp数组中的结果装回a数组
    for(i=0;i<k;i++)   
        a[begin+i]=temp[i];
}

void mergesort(int a[],int begin,int end,int temp[])
{
    if(begin<end)
    {
        int mid = (begin+end)/2;
        mergesort(a,begin,mid,temp);   //左边有序
        mergesort(a,mid+1,end,temp);   //右边有序
        MergeArray(a,begin,mid,end,temp); //将左右两边有序的数组合并
    }
}
int main()
{
    int num[10]={2,5,9,3,6,1,0,7,4,8};
    int temp[10];
    mergesort(num,0,9,temp);
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        printf("%d",num[i]);
    }
    printf("
");
}

归并排序的时间复杂度

归并排序的最好、最坏和平均时间复杂度都是O(nlogn)，而空间复杂度是O(n)，比较次数介于(nlogn)/2和(nlogn)-n+1，赋值操作的次数是(2nlogn)。因此可以看出，归并排序算法比较占用内存，但却是效率高且稳定的排序算法。

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归并排序及其时间复杂度分析 

来源：http://xwrwc.blog.163.com/blog/static/46320003201141582544245/

1》归并排序的步骤如下：

       Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

       Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。      

       Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

2》时间复杂度：

  这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c₁，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c₂n，我们取c₁和c₂中较大的一个设为c，把原来的公式改为：

这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：

把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。

       如果先前取c₁和c₂中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。

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归并排序

来源：http://learn.akae.cn/media/ch11s04.html

插入排序算法采取增量式（Incremental）的策略解决问题，每次添一个元素到已排序的子序列中，逐渐将整个数组排序完毕，它的时间复杂度是O(n²)。下面介绍另一种典型的排序算法－－归并排序，它采取分而治之（Divide-and-Conquer）的策略，时间复杂度是Θ(nlgn)。归并排序的步骤如下：

1. Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

2. Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。

3. Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

在描述归并排序的步骤时又调用了归并排序本身，可见这是一个递归的过程。

例 11.2. 归并排序

#include <stdio.h>

#define LEN 8
int a[LEN] = { 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6 };

void merge(int start, int mid, int end)
{
    int n1 = mid - start + 1;
    int n2 = end - mid;
    int left[n1], right[n2];
    int i, j, k;

    for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[start..mid] */
        left[i] = a[start+i];
    for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[mid+1..end] */
        right[j] = a[mid+1+j];

    i = j = 0;
    k = start;
    while (i < n1 && j < n2)
        if (left[i] < right[j])
            a[k++] = left[i++];
        else
            a[k++] = right[j++];

    while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
        a[k++] = left[i++];
    while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
        a[k++] = right[j++];
}

void sort(int start, int end)
{
    int mid;
    if (start < end) {
        mid = (start + end) / 2;
        printf("sort (%d-%d, %d-%d) %d %d %d %d %d %d %d %d
", 
               start, mid, mid+1, end, 
               a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
        sort(start, mid);
        sort(mid+1, end);
        merge(start, mid, end);
        printf("merge (%d-%d, %d-%d) to %d %d %d %d %d %d %d %d
", 
               start, mid, mid+1, end, 
               a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
    }
}

int main(void)
{
    sort(0, LEN-1);
    return 0;
}

执行结果是：

sort (0-3, 4-7) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-1, 2-3) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-0, 1-1) 5 2 4 7 1 3 2 6
merge (0-0, 1-1) to 2 5 4 7 1 3 2 6
sort (2-2, 3-3) 2 5 4 7 1 3 2 6
merge (2-2, 3-3) to 2 5 4 7 1 3 2 6
merge 0-1, 2-3) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-5, 6-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-4, 5-5) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-4, 5-5) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (6-6, 7-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (6-6, 7-7) to 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-5, 6-7) to 2 4 5 7 1 2 3 6
merge (0-3, 4-7) to 1 2 2 3 4 5 6 7

sort函数把a[start..end]平均分成两个子序列，分别是a[start..mid]和a[mid+1..end]，对这两个子序列分别递归调用sort函数进行排序，然后调用merge函数将排好序的两个子序列合并起来，由于两个子序列都已经排好序了，合并的过程很简单，每次循环取两个子序列中最小的元素进行比较，将较小的元素取出放到最终的排序序列中，如果其中一个子序列的元素已取完，就把另一个子序列剩下的元素都放到最终的排序序列中。为了便于理解程序，我在sort函数开头和结尾插了打印语句，可以看出调用过程是这样的：

图 11.4. 归并排序调用过程

图中S表示sort函数，M表示merge函数，整个控制流程沿虚线所示的方向调用和返回。由于sort函数递归调用了自己两次，所以各函数之间的调用关系呈树状结构。画这个图只是为了清楚地展现归并排序的过程，读者在理解递归函数时一定不要全部展开来看，而是要抓住Base Case和递推关系来理解。我们分析一下归并排序的时间复杂度，以下分析出自[算法导论]。

首先分析merge函数的时间复杂度。在merge函数中演示了C99的新特性－－可变长数组，当然也可以避免使用这一特性，比如把left和right都按最大长度LEN分配。不管用哪种办法，定义数组并分配存储空间的执行时间都可以看作常数，与数组的长度无关，常数用Θ-notation记作Θ(1)。设子序列a[start..mid]的长度为n1，子序列[mid+1..end]的长度为n2，a[start..end]的总长度为n=n1+n2，则前两个for循环的执行时间是Θ(n1+n2)，也就是Θ(n)，后面三个for循环合在一起看，每走一次循环就会在最终的排序序列中确定一个元素，最终的排序序列共有n个元素，所以执行时间也是Θ(n)。两个Θ(n)再加上若干常数项，merge函数总的执行时间仍是Θ(n)，其中n=end-start+1。

然后分析sort函数的时间复杂度，当输入长度n=1，也就是start==end时，if条件不成立，执行时间为常数Θ(1)，当输入长度n>1时：

总的执行时间 = 2 × 输入长度为n/2的sort函数的执行时间 + merge函数的执行时间Θ(n)

设输入长度为n的sort函数的执行时间为T(n)，综上所述：

这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c₁，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c₂n，我们取c₁和c₂中较大的一个设为c，把原来的公式改为：

这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：

把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。

如果先前取c₁和c₂中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。

和插入排序的平均情况相比归并排序更快一些，虽然merge函数的步骤较多，引入了较大的常数、系数和低次项，但是对于较大的输入长度n，这些都不是主要因素，归并排序的时间复杂度是Θ(nlgn)，而插入排序的平均情况是Θ(n²)，这就决定了归并排序是更快的算法。但是不是任何情况下归并排序都优于插入排序呢？哪些情况适用插入排序而不适用归并排序？留给读者思考。

习题

快速排序是另外一种采用分而治之策略的排序算法，在平均情况下的时间复杂度也是Θ(nlgn)，但比归并排序有更小的时间常数。它的基本思想是这样的：

int partition(int start, int end)
{
    从a[start..end]中选取一个pivot元素（比如选a[start]为pivot）;
    在一个循环中移动a[start..end]的数据，将a[start..end]分成两部分，
    使a[start..mid-1]比pivot元素小，a[mid+1..end]比pivot元素大，而a[mid]就是pivot元素;
    return mid;
}

void quicksort(int start, int end)
{
    int mid;
    if (end > start) {
        mid = partition(start, end);
        quicksort(start, mid-1);
        quicksort(mid+1, end);
    }
}

请补完partition函数，这个函数有多种写法，请选择时间常数尽可能小的实现方法。想想快速排序在最好和最坏情况下的时间复杂度是多少？快速排序在平均情况下的时间复杂度分析起来比较复杂，有兴趣的读者可以参考[

下面来自百度百科：http://baike.baidu.com/link?url=ctLPkJAC2f8htsbT_S_HWB_2_5wRxEQ3QFXpiUWVnl-SC-8kLqZQQRVhL73AVsE0#3_2

快速排序算法

快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。由C. A. R. Hoare在1962年提出。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

过程就不复制了。看代码吧

#include <iostream>
　
using namespace std;
//从小到大
int partion(int a[],int p,int r){
    int x = a[r];     //通常，拿最后一个值，作为预期的中间值
    int middle = p;   //记录“较小的一段数据”的最大下标。通常这个值在p和r的中间，故起名middle
    for (int j = p ; j < r ; j++){
        if (a[j] < x){
            int temp  = a[middle];
            a[middle] = a[j];
            a[j] = temp;
            middle++;
        }
    }
    int temp = a[r];
    a[r]     = a[middle];
    a[middle] = temp;
    return middle;
}
 
 
void QuickSort(int a[],int p,int r){
    if (p<r){
        int q=partion(a,p,r);
        QuickSort(a,p,q-1);
        QuickSort(a,q+1,r);
    }
}
 
int main(){
    int array[]={0,-2,11,-4,13,-5,14,-43};
    QuickSort(array,0,7);
    for(int i = 0 ; i <= 7 ; i++)
        cout<<array[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
 }

下面是Java快排的代码：

public static void quickSort(int a[], int start, int end)
{        int i,j;
         i = start;
         j = end;
         if((a==null)||(a.length==0))
             return;
         while(i<j){
             while(i<j&&a[i]<=a[j]){     //以数组start下标的数据为key，右侧扫描
                 j--;
             }
             if(i<j){                   //右侧扫描，找出第一个比key小的，交换位置
                 int temp = a[i];
                 a[i] = a[j];
                 a[j] = temp;
             }
              while(i<j&&a[i]<a[j]){    //左侧扫描（此时a[j]中存储着key值）
                 i++;
               }
             if(i<j){                 //找出第一个比key大的，交换位置
                 int temp = a[i];
                 a[i] = a[j];
                 a[j] = temp;
             }
        }
        if(i-start>1){
             //递归调用，把key前面的完成排序
            quickSort(a,start,i-1);
        }
        if(end-i>1){
            quickSort(a,i+1,end);    //递归调用，把key后面的完成排序
        }
}
 
//////////////////////////// 方式二 ////////////////////////////////
更有效率点的代码：
public <T extends Comparable<? super T>> T[] quickSort(T [] targetArr,
            int start, int end) {
       int i = start + 1, j = end;
       T  key = targetArr[start];
       SortUtil<T> sUtil = new SortUtil<T>();
      
       if (start >= end) {
            return targetArr;
        }
      
       /* 从i++和j--两个方向搜索不满足条件的值并交换  *
        * 条件为：i++方向小于key，j--方向大于key      */
       while (true) {
            while (targetArr[j].compareTo(key) > 0) {
                j --;
            }
            while (targetArr[i].compareTo(key) < 0 && i < j) {
                i ++;
            }
            if(i >= j) {
                break;
            }
            sUtil.swap(targetArr, i, j);
            if(targetArr[i] == key) {
                j--;
            } else {
                i++;
            }
       }
      
       /* 关键数据放到‘中间’ */
       sUtil.swap(targetArr, start, j);
      
       if(start  < i - 1) {
            this.quickSort(targetArr, start, i - 1);
        }
       if(j + 1 < end) {
           this.quickSort(targetArr, j + 1 , end);
        }
        
        return targetArr;
    }
 
////////////////方式三：减少交换次数，提高效率/////////////////////
private <T extends Comparable<? super T>> void quickSort(T[] targetArr,
             int start, int end) {
        int i =  start, j = end;
        T key = targetArr[start];
         
        while(i < j) {
            //按 j -- 方向遍历目标数组，直到比 key 小的值为止
            while(j > i && targetArr[j].compareTo(key) >= 0) {
                j --;
            }
            if(i < j) {
                // targetArr[i] 已经保存在key中，可将后面的数填入
                targetArr[i] = targetArr[j];
            }
            //按 i ++ 方向遍历目标数组，直到比 key 大的值为止
            while(i < j && targetArr[i].compareTo(key) < 0) {
                i ++;
            }
            if(i < j) {
                // targetArr[j] 已保存在targetArr[i]中，可将前面的值填入
                targetArr[j] = targetArr[i];
            }
        }
        // 此时 i == j
        targetArr[i] = key;
         
        if(i - start > 1) {
            // 递归调用，把key前面的完成排序
            this.quickSort(targetArr, start, i - 1);
        }
        if(end - j > 1) {
            // 递归调用，把key后面的完成排序
            this.quickSort(targetArr, j + 1, end);
        }
    }

其他关于快排的讲解：

http://www.cnblogs.com/morewindows/archive/2011/08/13/2137415.html