欧几里德算法（辗转相除算法）练习

来源：http://www.nowamagic.net/algorithm/algorithm_EuclideanAlgorithm.php

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。

假设d是a,b的一个公约数，则有：a % d == 0 , b % d == 0，而r = a - kb，因此 r % d == 0 。因此d是(b,a mod b)的公约数。

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则b % d == 0 , r % d == 0 ，但是a = kb +r 所以 a % d == 0。因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。

/*==================================================*
| GCD 最大公约数
*==================================================*/
int gcd(int x, int y)
{
     if (!x || !y) return x > y ? x : y;

     for (int t; t = x % y; x = y, y = t);
    
     return y;
}

/*==================================================*
| 快速 GCD
*==================================================*/
int kgcd(int a, int b)
{
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    if (!(a & 1) && !(b & 1)) 
        return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;
    else if (!(b & 1)) 
        return kgcd(a, b>>1);
    else if (!(a & 1)) 
        return kgcd(a>>1, b);
    else return 
        kgcd(abs(a - b), min(a, b));
}

/*==================================================*
| 扩展 GCD
| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;
*==================================================*/
int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
    if (b == 0) 
    { 
        x=1; y=0; 
        return a; 
    }
    int d = extgcd(b, a % b, x, y);
    
    int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
    
    return d;
}