2的次幂表示【递归算法训练】

【一个比较经典的算法题目】

题目链接：

http://lx.lanqiao.org/problem.page?gpid=T235

http://noi.openjudge.cn/ch0202/8758/

http://codevs.cn/problem/5165/

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1010

 

问题描述

　　任何一个正整数都可以用2进制表示，例如：137的2进制表示为10001001。
　　将这种2进制表示写成2的次幂的和的形式，令次幂高的排在前面，可得到如下表达式：137=2^7+2^3+2^0
　　现在约定幂次用括号来表示，即a^b表示为a（b）
　　此时，137可表示为：2（7）+2（3）+2（0）
　　进一步：7=2^2+2+2^0 （2^1用2表示）
　　3=2+2^0 
　　所以最后137可表示为：2（2（2）+2+2（0））+2（2+2（0））+2（0）
　　又如：1315=2^10+2^8+2^5+2+1
　　所以1315最后可表示为：
　　2（2（2+2（0））+2）+2（2（2+2（0）））+2（2（2）+2（0））+2+2（0）

输入格式

　　正整数（1<=n<=20000）

输出格式

　　符合约定的n的0，2表示（在表示中不能有空格）

样例输入

　　137

样例输出

　　2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

样例输入

　　1315

样例输出

　　2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)
提示
　　用递归实现会比较简单，可以一边递归一边输出

分析：

本题可以参考一个算法:递归输出某十进制数的二进制表示的算法。（主要是在递归回溯的时候才输出，而非计算出来就输出。）

本着从易到难的原则，可以考虑先实现将137表示为：2（7）+2（3）+2（0）的程序。

关于加号的输出：可以考虑判断当前项是否二进制序列的最高位（传入下一层的数是0）。是最高位则当前项左侧不输出“+”，否则在当前项左侧输出“+”.

关于把指数也转变为0和2的序列：在输出每一项时判断指数是否超过1，超过则先输出“2(”，然后把该指数与0传入递归函数，递归显示该指数的表示。然后在输出后半边括号。

 

嗯可以先看看递归输出一个整数的二进制序列：

程序0：

#include <stdio.h>
void fun(int n)
{
    int t;
    if(n==0)
        return;
    else
    {
        t=n%2;
        fun(n/2);
        printf("%d",t);
    }
}
int main()
{
    fun(5);
    return 0;
}

程序一：实现将137表示为：2（7）+2（3）+2（0）的程序.

#include <stdio.h>
void toBinary(int n,int x);
int main()
{
    int n;
    freopen("out1.txt","w",stdout);
    n=1;
    while(n<=255)
    {
        //scanf("%d",&n);
        printf("%d---->",n);
        toBinary(n,0);
        printf("
");
        n++;
    }
    
    return 0;
}
void toBinary(int n,int x)
{
    int t;
    if(n==0)
        return;
    else
    {
        t=n%2;
        toBinary(n/2,x+1);
        if(t)
        {
            if(x==1)
            {
                if(n/2==0)
                    printf("2");
                else printf("+2");
            }
            else
            {
                if(n/2==0)
                    printf("2(%d)",x);
                else printf("+2(%d)",x);
            }
        }
    }
}

程序二：完整程序的实现。

#include <stdio.h>
void toBinary(int n,int x);
int main()
{
    int n;
    /*scanf("%d",&n);
    toBinary(n,0);*/
    
    freopen("out2.txt","w",stdout);
    n=1;
    while(n<=255)
    {
        //scanf("%d",&n);
        printf("%d---->",n);
        toBinary(n,0);
        printf("
");
        n++;
    }
    
    return 0;
}
void toBinary(int n,int x)
{
    int t;
    if(n==0)
        return;
    else
    {
        t=n%2;
        toBinary(n/2,x+1);
        if(t)
        {
            if(x==1)
            {
                if(n/2==0)
                    printf("2");
                else printf("+2");
            }
            else
            {
                if(n/2==0)
                {
                    //printf("2(%d)",x);
                    if(x==0) printf("2(0)");
                    else
                    {
                        printf("2(");
                        toBinary(x,0);
                        printf(")");
                    }
                }
                else
                {
                    //printf("+2(%d)",x);
                    if(x==0) printf("+2(0)");
                    else
                    {
                        printf("+2(");
                        toBinary(x,0);
                        printf(")");
                    }
                }
            }
        }
    }
}

 更新：上述代码的if逻辑可以简化。

#include <stdio.h>
void toBinary(int n,int x);
int main()
{
    int n;
    /*scanf("%d",&n);
    toBinary(n,0);*/
    
    freopen("out2.txt","w",stdout);
    n=1;
    while(n<=255)
    {
        //scanf("%d",&n);
        printf("%d---->",n);
        toBinary(n,0);
        printf("
");
        n++;
    }
    
    return 0;
}
void toBinary(int n,int x)
{
    int t;
    if(n==0)
        return;
    else
    {
        t=n%2;
        toBinary(n/2,x+1);
        if(t)
        {
            if(x==1)
            {
                if(n/2==0)
                    printf("2");
                else printf("+2");
            }
            else
            {
                if(n/2!=0)printf("+");
                
                if(x==0) printf("2(0)");
                else
                {
                    printf("2(");
                    toBinary(x,0);
                    printf(")");
                }
            }
        }
    }
}

2019年3月15日，刘俊东童鞋写了一段代码解决这道题，感觉虽有不足，但也算是思路新奇，可以一睹风采：

#include <stdio.h>
int mi(int a,int b)
{
    int i,sum=1;
    for(i=0;i<b;i++)
      sum=sum*a;
    return sum;  
}
void fun(int n)
{
    int t;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        t=i;
        if(mi(2,i)>n)
        {t--;break;}
    }
    if(t==0) printf("2(0)");
    if(t==1) printf("2");
    if(t>1) 
    {
        printf("2(");
        fun(t);
        printf(")");
    }
    if(n!=mi(2,t)) 
    {    
        printf("+");
        fun(n-mi(2,t));
    }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int p;
    scanf("%d",&p);
    fun(p);
    return 0;
}