openjudge-膨胀的木棍

http://noi.openjudge.cn/ch0111/09/

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描述

当长度为L的一根细木棍的温度升高n度，它会膨胀到新的长度L'=(1+n*C)*L，其中C是热膨胀系数。

当一根细木棍被嵌在两堵墙之间被加热，它将膨胀形成弓形的弧，而这个弓形的弦恰好是未加热前木棍的原始位置。

你的任务是计算木棍中心的偏移距离。

 输入

三个非负实数：木棍初始长度（单位：毫米），温度变化（单位：度），以及材料的热膨胀系数。
保证木棍不会膨胀到超过原始长度的1.5倍。

输出

木棍中心的偏移距离（单位：毫米），保留到小数点后第三位。

样例输入

1000 100 0.0001

样例输出

61.329

 参考：

http://blog.csdn.net/jeremygjy/article/details/49686943

http://blog.csdn.net/txl199106/article/details/49332261

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define PI (acos(-1))
#define eps (1e-14)
int main(int argc, char *argv[])
{
    double L,n,C,L1;
    
    double minCentralAngle,maxCentralAngle,CentralAngle;
    double radius,L2;
    double ans;
    
    scanf("%lf%lf%lf",&L,&n,&C);
    
    if(n*C*L<=eps)   //假如膨胀量太小就不用计算了，直接认为结果就是0. 
    {
        printf("0.000
");
        return 0;
    }
    
    L1=(1+n*C)*L;
    
    //下面对圆心角进行二分枚举
    //（膨胀量不超过原来的1.5倍，
    //分析圆的半周长PI*R与直径2*R的关系可知圆心角范围0~2*PI而且不可能取2*PI） 
    minCentralAngle=0;//圆心角的极小值 
    maxCentralAngle=PI;//圆心角的极大值 
    while(minCentralAngle<maxCentralAngle-eps)
    {
        CentralAngle=(minCentralAngle+maxCentralAngle)/2;
        radius=L/2/sin(CentralAngle/2);
        L2=CentralAngle*radius;
        if(L2>=L1)//当弦长固定时，圆心角越大 ，弧长就越大 
            maxCentralAngle=CentralAngle;
        else if(L2<L1)
            minCentralAngle=CentralAngle;
    }
    radius=L/2/sin(minCentralAngle/2);
    ans=radius-L/2/tan(minCentralAngle/2);
    printf("%.3lf
",ans);
    return 0;
}

一定要注意：我们需要二分的内容是当前角度，那么角度的范围可以很容易发现，因为木棍长度不超过1.5倍那么就定角度为0-π因为如果圆心角过小会发现半径十分的大根本存不下，其实这种情况的时候木棍长度的变化也是十分的小的那么 

if(n * c * L <= eps) 
判断一下如果满足那么直接就输出0.000， 

另外要注意：当弦长固定时，圆心角越大 ，弧长就越大 。

网友JeremyGJY的代码和分析很好，摘抄一下:

JeremyGJY的代码:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double PI = asin(1.0);
const double eps = 1e-14;
int main(){
    double Len1, Len2, Temp, ks;
    while(scanf("%lf%lf%lf", &Len1, &Temp, &ks) != EOF){
        Len2 = (1.0 + Temp * ks) * Len1;
        double l=0, r=PI;
        if(Temp * ks * Len1 <= eps){
            printf("%.3lf
", 0.0);
            continue;
        }
        while(l < r - eps){
            double mid = (l + r)/2.0;
            if(Len1/sin(mid)*PI*(mid/PI) >= Len2)
                r = mid;
            else l = mid;
        }
        printf("%.3lf
", Len1/2/sin(l)-Len1/2/sin(l)*cos(l));
    }

    return 0;
}

csdn网友Tank_long的分析更精彩，只不过下面这个图的公式似乎有点乱。

公式大概如下：

首先要注意θ角是圆心角的一半。然后根据数学公式有：

sinθ=2sin（θ/2）cos(θ/2)

1-cosθ=2sin(θ/2)²

然后还要注意根据直角三角形正弦的定义有：L=2*R*sinθ

根据弧长公式有LL=2*R*θ

所以h=R-R*cosθ=R*（1-cosθ）=L/(2*sinθ)*(1-cosθ)=L/(2*sinθ)*(2sin(θ/2)²)=L/( 2*  ( 2*sin（θ/2）*cos(θ/2)  )    )*(2sin(θ/2)² )

最后h=L/2*tan(θ/2)

注意到θ是圆心角的一半，所以θ得区间是0~PI，根据正切函数图形性质可以知道当L固定时，h跟θ是成正比关系的。

Tank_long的代码：（不得不佩服起数学功底啊……）

#include<stdio.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<math.h>  
int main()  
{  
    double l, ll, rig, lef, mid, n, c;  
    scanf("%lf%lf%lf", &l, &n, &c);  
  
    if(l<1e-14)  
    {  
        printf("0.000
");  
        return 0;  
    }  
    ll=l*(1+n*c);  
    lef=0.0;          //角的极小值  
    rig=asin(1.0);    //角的极大值  
    //由于三角函数转换，得到 h= (l/2)*tan(@/2) , 所以h只与角@有关,使用二分逼近法去求解最接近的@即可  
    //注意，二分验证是让 ll与角@ 计算得到的 木棍原始长度l`=ll*sin@/@ 与 l 进行比较，且l`与@成反比例关系  
    while(rig-lef>1e-14)   //在极大值与极小值之间进行二分，这个地方精度控制太低就过不了了。精度要求很高。  
    {  
        mid=(rig+lef)/2;  
        if(ll*sin(mid)/mid<=l)  
            rig=mid;  
        else  
            lef=mid;  
    }  
    printf("%.3lf
", l/2*tan(lef/2));  
    return 0;  
}  

三角函数公式补充：

二倍角公式