3299 有序数组合并求第K大问题

题目描述 Description

给出两个有序数组A和B（从小到大有序），合并两个有序数组后新数组c也有序，询问c数组中第k大的数

假设不计入输入输出复杂度，你能否给出一个O(logN)的方法？

输入描述 Input Description

第一行输入三个整数n、m和k

第二行输入n个用空格隔开的整数表示数组A

第三行输入m个用空格隔开的整数表示数组B

输入保证A和B数组非递减

输出描述 Output Description

合并两个数组之后的第k大的数

样例输入 Sample Input

2 3 4

1  2

1 1 5

样例输出 Sample Output

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

1<=n,m<=1000000

1<=k <=n+m

算法一：O（m+n+k）

做类似于归并排序的合并，但是没有使用额外的空间。

#include <stdio.h>
long long n,m,k,a[1000005],b[1000005];
long long findKthSMallest()
{
    int ai=0,bi=0;
    while(k>0)
    {
        if(ai<n&&bi<m)
        {
            if(a[ai]<=b[bi]) 
            {
                if(k==0) return a[ai];
                ai++;
            }
            else if(b[bi]<=a[ai])
            {
                if(k==0) return b[bi];
                bi++;
            }
        }
        else if(ai<n&&bi==m)
        {
            if(k==0) return a[ai];
            ai++;
        }
        else if(ai==n&&bi<m)
        {
            if(k==0) return b[bi];
            bi++;
        }
        else return -1;
        
        k--;
    }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]);
    printf("%d
",findKthSMallest());
    return 0;
}

下面的代码是同样的思路，但是代码比较简洁易懂：

#include <stdio.h>
int n,m,k,a[1000005],b[1000005];
int findKthSMallest(int a[],int n,int b[],int m,int k)
{
    int a_offset = 0, b_offset = 0;
    if(n+m<k) return -1;
    
    while(true)
    {
        if(a_offset<n)
        {
            while (b_offset == m || a_offset<n&&a[a_offset] <= b[b_offset])
            {
                if(a_offset+1 + b_offset == k) return a[a_offset];
                a_offset++;
            }
        }
        if(b_offset<m)
        {
            while (a_offset == n || b_offset<m&&a[a_offset] >= b[b_offset])
            {
                if (a_offset + b_offset+1 == k) return b[b_offset];
                b_offset++;
            }
        }
    }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]);
    printf("%d
",findKthSMallest(a,n,b,m,k));
    return 0;
}

第二段代码参考自：在线疯狂的博客，原文代码有误，已经修正。

第三种写法：省一些空间，b[ ]并没有提前完整输入。

#include <stdio.h>
int n,m,k,a[1000005];
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,bTemp,kIndex,kValue=0,f;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);

    i=0,kIndex=0,f=0;
    for(j=0;j<m||i<n;j++) // i是a[]的下标，j是b[]的下标 
    {
        //for的语句条件和这里的if条件是防止b[]扫描完了却未曾寻找到第k个数.
        //这个时候需要继续循环，在a[]中寻找，但是不再输入 
        if(j<m) scanf("%d",&bTemp);
        
        while(i<n||j<m)
        {
            if(j==m||i<n&&a[i]<=bTemp)
            {
                kIndex++;
                kValue=a[i++];
                if(kIndex==k) { f=1; break; }
            }
            else
            {
                kIndex++;
                kValue=bTemp;
                if(kIndex==k) f=1;
                break;
            }
        }
        if(f==1) break;
    }
    printf("%d
",kValue);
    return 0;
}

算法二：时间复杂度O（log（n+m））。当然，假如考虑输入，那时间复杂度仍然是O（n+m）

代码来源：http://www.cnblogs.com/swanspouse/p/5285015.html

代码解析：

• 传统解法，最直观的解法是O(m+n)。直接merge两个数组，然后求第K大的数字。

• 如果想要时间复杂度将为O(log(m+n))。我们可以考虑从K入手。如果我们每次能够删除一个一定在第K个元素之前的元素，那么我们需要进行K次，但是如果每次我们都删除一半呢？由于两个数组都是有序的，我们应该充分利用这个信息。

  • 假设A B 两数组的元素都大于K/2，我们将A B两数组的第K/2个元素进行比较。比较的结果有三种情况。
    • A[K/2] == B[K/2]
    • A[K/2] > B[K/2]
    • A[K/2] <= B[K/2]
  • 如果 A[K/2] < B[K/2] 意味着 A[0] 到 A[K/2] 肯定在A∪B的前k个元素中。因此我们可以放心删除A数组的这个k/2个元素。同理A[K/2] > B[K/2]。
  • 如果 A[K/2] == B[K/2] 说明已经找到了第K个元素，直接返回A[K/2]或者B[K/2]。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[1000005],b[1000005];
int find_kth(int A[],int m, int B[], int n, int k)
{
    if(m > n )  return find_kth(B, n, A, m, k);
    if( m == 0) return B[k-1];
    if( k == 1) return min(A[0], B[0]);

    int ia = min(k /2, m);
    int ib = k -ia;
    if( A[ia-1] < B[ib -1]) 
        return find_kth(A +ia, m -ia, B, n, k -ia);
    else if( A[ia-1] > B[ib-1])
        return find_kth(A, m, B +ib, n -ib, k -ib);
    else
        return A[ia-1];
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,n,m,k;
    int ans;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]);
    ans=find_kth(a,n,b,m,k);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

说明

• 注意其中的递归终止条件。
• 将求第K大元素的问题划分成为子问题，不断的对问题进行缩小，采取递归的方式求解。
• 此问题可以进行拓展，比如求两有序数组的中位数。