题目描述 Description
给出两个有序数组A和B（从小到大有序），合并两个有序数组后新数组c也有序，询问c数组中第k大的数
假设不计入输入输出复杂度，你能否给出一个O(logN)的方法？
输入描述 Input Description
第一行输入三个整数n、m和k
第二行输入n个用空格隔开的整数表示数组A
第三行输入m个用空格隔开的整数表示数组B
输入保证A和B数组非递减
输出描述 Output Description
合并两个数组之后的第k大的数
样例输入 Sample Input
2 3 4
1 2
1 1 5
样例输出 Sample Output
2
数据范围及提示 Data Size & Hint
1<=n,m<=1000000
1<=k <=n+m
算法一：O（m+n+k）
做类似于归并排序的合并，但是没有使用额外的空间。
1 #include <stdio.h> 2 long long n,m,k,a[1000005],b[1000005]; 3 long long findKthSMallest() 4 { 5 int ai=0,bi=0; 6 while(k>0) 7 { 8 if(ai<n&&bi<m) 9 { 10 if(a[ai]<=b[bi]) 11 { 12 if(k==0) return a[ai]; 13 ai++; 14 } 15 else if(b[bi]<=a[ai]) 16 { 17 if(k==0) return b[bi]; 18 bi++; 19 } 20 } 21 else if(ai<n&&bi==m) 22 { 23 if(k==0) return a[ai]; 24 ai++; 25 } 26 else if(ai==n&&bi<m) 27 { 28 if(k==0) return b[bi]; 29 bi++; 30 } 31 else return -1; 32 33 k--; 34 } 35 } 36 int main(int argc, char *argv[]) 37 { 38 int i; 39 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 40 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 41 for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]); 42 printf("%d ",findKthSMallest()); 43 return 0; 44 }
下面的代码是同样的思路，但是代码比较简洁易懂：
1 #include <stdio.h> 2 int n,m,k,a[1000005],b[1000005]; 3 int findKthSMallest(int a[],int n,int b[],int m,int k) 4 { 5 int a_offset = 0, b_offset = 0; 6 if(n+m<k) return -1; 7 8 while(true) 9 { 10 if(a_offset<n) 11 { 12 while (b_offset == m || a_offset<n&&a[a_offset] <= b[b_offset]) 13 { 14 if(a_offset+1 + b_offset == k) return a[a_offset]; 15 a_offset++; 16 } 17 } 18 if(b_offset<m) 19 { 20 while (a_offset == n || b_offset<m&&a[a_offset] >= b[b_offset]) 21 { 22 if (a_offset + b_offset+1 == k) return b[b_offset]; 23 b_offset++; 24 } 25 } 26 } 27 } 28 int main(int argc, char *argv[]) 29 { 30 int i; 31 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 32 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 33 for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]); 34 printf("%d ",findKthSMallest(a,n,b,m,k)); 35 return 0; 36 }
第二段代码参考自：在线疯狂的博客，原文代码有误，已经修正。
第三种写法：省一些空间，b[ ]并没有提前完整输入。
1 #include <stdio.h> 2 int n,m,k,a[1000005]; 3 int main(int argc, char *argv[]) 4 { 5 int i,j,bTemp,kIndex,kValue=0,f; 6 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 7 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 8 9 i=0,kIndex=0,f=0; 10 for(j=0;j<m||i<n;j++) // i是a[]的下标，j是b[]的下标 11 { 12 //for的语句条件和这里的if条件是防止b[]扫描完了却未曾寻找到第k个数. 13 //这个时候需要继续循环，在a[]中寻找，但是不再输入 14 if(j<m) scanf("%d",&bTemp); 15 16 while(i<n||j<m) 17 { 18 if(j==m||i<n&&a[i]<=bTemp) 19 { 20 kIndex++; 21 kValue=a[i++]; 22 if(kIndex==k) { f=1; break; } 23 } 24 else 25 { 26 kIndex++; 27 kValue=bTemp; 28 if(kIndex==k) f=1; 29 break; 30 } 31 } 32 if(f==1) break; 33 } 34 printf("%d ",kValue); 35 return 0; 36 }
算法二：时间复杂度O（log（n+m））。当然，假如考虑输入，那时间复杂度仍然是O（n+m）
代码来源：http://www.cnblogs.com/swanspouse/p/5285015.html
代码解析：
-
传统解法，最直观的解法是O(m+n)。直接merge两个数组，然后求第K大的数字。
-
如果想要时间复杂度将为O(log(m+n))。我们可以考虑从K入手。如果我们每次能够删除一个一定在第K个元素之前的元素，那么我们需要进行K次，但是如果每次我们都删除一半呢？由于两个数组都是有序的，我们应该充分利用这个信息。
- 假设A B 两数组的元素都大于K/2，我们将A B两数组的第K/2个元素进行比较。比较的结果有三种情况。
- A[K/2] == B[K/2]
- A[K/2] > B[K/2]
- A[K/2] <= B[K/2]
- 如果 A[K/2] < B[K/2] 意味着 A[0] 到 A[K/2] 肯定在A∪B的前k个元素中。因此我们可以放心删除A数组的这个k/2个元素。同理A[K/2] > B[K/2]。
- 如果 A[K/2] == B[K/2] 说明已经找到了第K个元素，直接返回A[K/2]或者B[K/2]。
- 假设A B 两数组的元素都大于K/2，我们将A B两数组的第K/2个元素进行比较。比较的结果有三种情况。
1 #include <stdio.h> 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 int a[1000005],b[1000005]; 5 int find_kth(int A[],int m, int B[], int n, int k) 6 { 7 if(m > n ) return find_kth(B, n, A, m, k); 8 if( m == 0) return B[k-1]; 9 if( k == 1) return min(A[0], B[0]); 10 11 int ia = min(k /2, m); 12 int ib = k -ia; 13 if( A[ia-1] < B[ib -1]) 14 return find_kth(A +ia, m -ia, B, n, k -ia); 15 else if( A[ia-1] > B[ib-1]) 16 return find_kth(A, m, B +ib, n -ib, k -ib); 17 else 18 return A[ia-1]; 19 } 20 int main(int argc, char *argv[]) 21 { 22 int i,n,m,k; 23 int ans; 24 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 25 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 26 for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&b[i]); 27 ans=find_kth(a,n,b,m,k); 28 printf("%d ",ans); 29 return 0; 30 }
说明
- 注意其中的递归终止条件。
- 将求第K大元素的问题划分成为子问题，不断的对问题进行缩小，采取递归的方式求解。
- 此问题可以进行拓展，比如求两有序数组的中位数。