最大子矩阵和

参考来源：

https://blog.csdn.net/fengyingjie2/article/details/54427146

https://blog.csdn.net/kavu1/article/details/50547401

题目：

给定一个矩阵，都是整数，其中(n≤500)，求出其中的最大子矩阵

解题思路：

O（n^2*n^2*n^2）的做法：

很容易想到，可以枚举一个矩阵的左上角和右下角的坐标确定这个矩阵，然后，再用两个循环进行统计

O（n^2*n^2）的做法：

对于上面的方法，提前处理一个前缀和，即可省去后面统计的时间复杂度。

正解，即O（n³）事实上并没有这么多：

想要做对这道题，我们先要明白一个最大子段和算法的做法：

例如数字a={8,-2,3,-11,5}，我们需要求出一段连续数字的最大和是什么

我们的思想是DP

设f[i]表示从1~i这些位置中的最大子段和

如何转移？对于当前的点i，我们只有两种状态，选择与上一个子段和连接或者自己重新构成一个子段和。

若选，则与1~i-1的最大子段和有关系，即1~i-1的最长子段和加上当前的a[i]，重新构成一个子段和

若不选，则与1~i-1最大子段和没有关系，自己重新构成了一个子段和

两者取较大者，即可解决

列出状态转移方程：f[i]:=max(a[i],f[i-1]+a[i])

时间复杂度 O(n)

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说了这么多都是铺垫，下面是重点：

为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵，它是原始矩阵从上到下加下来的。
假设原始矩阵是matrix, 它每一层上下相加后得到的矩阵是total，那么我们可以通过如下代码实现：

int[][] total = matrix;    
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {    
    for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {    
    total[i][j] += total[i-1][j];    
    }    
}    

如果我们要求第 i 行到第 j 行之间上下值的和，我们可以通过total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范围从1 到 matrix[0].length - 1。
有了这些知识点，我们只需要在所有的情况下，把它们所对应的局部最大子矩阵进行比较，就可以得到全局最大的子矩阵。代码如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {    
            
        int[][] total = matrix;    
        for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {    
            for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {    
                total[i][j] += total[i-1][j];    
            }    
        }    
            
        int maximum = Integer.MIN_VALUE;    
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {    
            for (int j = i; j < matrix.length; j++) {    
                //result 保存的是从 i 行 到第 j 行 所对应的矩阵上下值的和    
                                int[] result = new int[matrix[0].length];    
                for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {    
                    if (i == 0) {    
                        result[f] = total[j][f];    
                    } else {    
                        result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];    
                    }    
                }    
                int maximal = maxSubsequence(result);    
                    
                if (maximal > maximum) {    
                    maximum = maximal;    
                }    
            }    
        }    
            
        return maximum;    
    }