动态规划 最大子矩阵

问题描述：(具体见http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081)
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。
怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？
让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：
给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法－直接穷举法:
maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}
第二种方法－带记忆的递推法：
cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}
maxsofar=0
for i=0 to n
{
for j=i to n //下面通过已有的和递推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}
显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。
下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
得出的算法如下：
int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
这就是第三种方法－动态规划。

现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
[cpp] view plaincopyprint?
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[102][102];
int maxsub(int n,int a[])
{
int i,sum=0,b=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(b>0)b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum)sum=b;
}
return sum;
}
int main()
{
int b[102];
int n,i,k,j,sum,maxsum;
//freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&dp[i][j]);
}
}
maxsum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(b,0,sizeof(b));
for(j=i;j<=n;j++)
{
for(k=1;k<=n;k++)
{
b[k]+=dp[j][k];
}
sum=maxsub(n,b);
if(sum>maxsum)maxsum=sum;
}
}
printf("%d/n",maxsum);
}
return 0;
}