Luogu P3758 可乐

Luogu P3758 可乐

本题是一个经典的矩阵快速幂好题。

但与其他题不一样的是，这个题的数据范围给的提示不是特别明显。其他题，如 POJ3735 中，(mleq 10^{10})，就是一个鲜明的提示。而此题中，(tleq 10^6)，不算典型举证快速幂的数据范围，但也卡住了普通矩阵连乘的时间复杂度。

从题面中他可以留在原地，或随机前往一个相邻的点，这个条件其实可以看出用的是矩阵快速幂（有点像 P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值），问题就是如何处理自爆。

我们从问题的本质出发来思考这个问题。

自爆，其实就是打断了他的双腿，不能再走动了。对啊！我们可以设置一个点 (n+1)，命名为自爆点，可乐到了这里就要再也出不去了，也就是说，每个点都可以通向 (n+1)，但是到了 (n+1) 这个点，就再也不能往外走了，即在 (n+1) 这个点形成了自环。

如果上述描述有点抽象，我们那样例赖建一个矩阵，如下：

[egin{bmatrix}1&1&0&1\1&1&1&1\0&1&1&1\0&0&0&1end{bmatrix} ]

快速幂计算，最后将第一行的答案累加起来即可。记得取模

//Don't act like a loser.
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MAXN=40,mod=2017;

int n,m,t;

struct matrix {
	long long data[MAXN][MAXN];
	int col,row;
	
	void clear() {
		col=row=0;
		for(int i=0;i<MAXN;i++) {
			for(int j=0;j<MAXN;j++) {
				data[i][j]=0;
			}
		}
	}
	void initialize() {
		clear();
		col=row=n+1;
		for(int i=1;i<=n+1;i++) {
			data[i][i]=1;
		}
	}
	
	inline matrix operator *(matrix& b)const {
		matrix ret;
		ret.clear();
		
		for(int i=1;i<=col;i++) {
			for(int k=1;k<=row;k++) {
				if(data[i][k]==0) continue;
				for(int j=1;j<=b.row;j++) {
					ret.data[i][j]+=data[i][k]*b.data[k][j]%mod;
					ret.data[i][j]%=mod;
				}
			}
		}
		ret.col=col;
		ret.row=b.row;
		return ret;
	}
};

matrix ans;
matrix opt;

inline void qpow(int y) {
	while(y) {
		if(y&1) {
			ans=ans*opt;
		}
		opt=opt*opt;
		y>>=1;
	}
}

signed main() {
	cin>>n>>m;
	opt.initialize();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		opt.data[i][n+1]=1;
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		opt.data[u][v]=opt.data[v][u]=1;
	}
	ans.initialize();
	opt.col=opt.row=n+1;
	cin>>t;
	qpow(t);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++) {
		tot=(tot+ans.data[1][i])%mod;
	}
	cout<<tot<<endl;
	return 0;
}